Скорость распространения упругих волн.
Пусть по оси ОХ
распространяется плоская продольная
волна. Выберем в среде цилиндрический
объём, площадь основания которого S
и высота
.
Если основание
цилиндра с координатой х будет иметь
смещение
,
то смещение сечения с координатой
будет
.
Следовательно, рассматриваемый объём
получил удлинение
(если
<0,
то сжатие).
Величина
даст среднюю деформацию цилиндра .
Истинная деформация в разных сечениях
будет неодинаковой.
Поэтому
.
Существование деформации свидетельствует о наличии нормального напряжения, которое при малых деформациях пропорционально величине деформации:
где Е – модуль Юнга.
Рассмотрев движение, выбранного цилиндрического объема, и составив уравнение его движения, можно получить:
,
где
-
плотность недеформированной среды.
Сравнивая это
уравнение с уравнением плоской волны,
движущейся вдоль оси ОХ:
,
видим, что для продольных волн скорость
определяется свойствами среды и её
плотностью:
Для поперечных волн можно получить:
,
где
- модуль сдвига упругой среды,
и она тоже определяется свойствами среды
называется фазовой
скоростью волны и характеризует не
смещение частиц, а скорость распространения
фазы в пространстве.
скорость
движения частиц при деформации.
Энергия упругой волны.
Рассчитаем энергию, переносимую волной при своем движении.
Для этого выделим
в среде элементарный объём
.
Размер этого объёма должен быть таким, чтобы деформации и скорости движения всех точек среды были постоянными в его пределах:
и
.
Этот элементарный объём будет обладать потенциальной энергией упругой деформации:
,
где Е – Модуль
Юнга, равный
(
фазовая
скорость),
.
С другой стороны
тот же объём будет обладать кинетической
энергией равной:
.
Полная энергия, переносимая волной, будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
Учитывая что:
,
получим:
Из полученного выражения следует, что плотность энергии волны в каждый момент времени и в каждой точке различна и изменяется по синусоидальному закону.
Так как
- то среднее значение (по времени)
плотности энергии равно:
Стоячие волны.
Если в среде одновременно распространяются несколько волн, то результирующие колебания частиц представляют собой геометрическую сумму колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности.
Если накладывающиеся волны имеют одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз, то такие волны называются когерентными.
При наложении когерентных волн возникает явление называемой интерференцией.
Интерференция – физическое явление, заключающееся в возникновении минимумов и максимумов амплитуды колебаний в разных точках пространства, при наложении когерентных волн.
|
Рис. 34 |
Максимумы амплитуды
возникают в точках, в которых в разность
хода двух волн
укладывается четное число полуволн.
В точках
и
находятся
два когерентных источника, в точке А
волны, идущие от этих источников
накладываются друг на друга;
и
расстояния от источников до точки
наложения волн.
Минимумы амплитуд возникают в точках, в которых в разности хода двух лучей укладывается нечетное количество полуволн:
Очень интересный случай наблюдается при наложении двух встречных плоских когерентных волн с одинаковой амплитудой.
Результирующая волна называется стоячей волной. Гребни и узлы в стоячей волне не перемещаются в пространстве.
Пусть две накладываемые волны описываются следующими уравнениями:
Мы получили
уравнение стоячей волны, где
представляет собой закон изменения
амплитуды колеблющихся точек среды с
координатой х.
Если
,
то в этих точках возникает пучность
стоячей волны; в точках где
находится узел стоячей волны.
Продифференцировав уравнение стоячей волны по координате и времени, получим законы изменения скорости частиц и деформации среды:
- волна скорости
- волна деформации.