Сложение колебаний

а) Сложение однонаправленных колебаний.

Пусть материальная точка участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковой частотой, происходящих вдоль оси ОХ.

Уравнения этих колебаний имеют вид:

Для наглядности воспользуемся графическим методом сложения колебаний (методом векторных диаграмм).

Рис. 29

Представим оба колебания в виде вращения двух векторов и , модули которых равны соответствующим амплитудам, а начальное положение определяется начальными фазами и .

Проекция результирующего вектора на ось ОХ, как видно из чертежа, равна:

Амплитуду (модуль) вектора найдем по теореме косинусов:

.

Тангенс угла наклона, т.е. начальная фаза результирующего вектора , как видно из чертежа, равен:

.

Результирующее колебание представляет собой гармоническое колебание с амплитудой , частотой и начальной фазой :

.

Если складываются однонаправленные колебания с различной частотой, то векторы и будут вращаться с различной скоростью и результирующий вектор и его скорость вращения в процессе колебания будут меняться по величине, т.е. пульсировать. Результирующее колебание уже не будет гармоническим.

б) Биения

Особый интерес представляет случай, когда складываются два гармонических колебания мало отличающихся по частоте. Результирующее колебание, возникающее в этом случае, называют биением.

Пусть складываемые колебания, описываются следующими уравнениями:

Амплитуды этих колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю.

В результате сложения получим:

.

Воспользуемся тригонометрической формулой разложения суммы косинусов и будем пренебрегать слагаемым с , поскольку оно мало, по сравнению со слагаемыми, имеющими множитель :

Рис. 30

Множитель, заключенный в скобках, изменяется гораздо медленнее, чем , так как по условию .

За одно и тоже время множитель совершит несколько полных колебаний, а множитель практически не изменится. Все это позволяет биение представить как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой.

в) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы; т.е система может совершать колебательные движения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с одинаковой частотой.

Пусть эти колебания описываются следующими уравнениями:

Найдем уравнение, которым описывается траектория результирующего колебания.

Из первого уравнения: ,

Из второго уравнения .

Разложим косинус суммы .

.

Тогда ;

Рис. 31

.

Получили уравнение эллипса.

Исследуем форму траектории:

1) пусть , тогда

- это прямая линия, проходящая через начало системы координат

2) Тоже прямая линия.

3) - уравнение эллипса.

При - уравнение окружности.

Рис. 32

4)Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину , то их можно рассматривать как колебания с одинаковой частотой, но медленно меняющейся разностью фаз. Результирующее колебание в этом случае будет происходить по медленно видоизменяющейся траектории, которая последовательно принимает форму, отвечающую всем значениям от до .

5) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний не равны между собой, то колебания будут происходить по сложной траектории, называемой фигурой Лиссажу. Форма таких фигур зависит от соотношения частот и амплитуд складываемых колебаний.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.

1. Волновой процесс и его характеристики

2. Уравнение бегущей волны

3. Скорость распространения упругих волн

4. Энергия упругой волны

5. Стоячие волны