Вынужденные колебания. Резонанс.
а) Вынужденные колебания
Вынужденными называются колебания, которые совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы.
Уравнение, которое описывает такие колебания, имеет вид:
где
коэффициент
затухания;
частота
собственных колебаний системы;
максимальное
значение вынуждающей силы;
частота
вынуждающей силы.
Это уравнение
является неоднородным дифференциальным
уравнением 2-го порядка, решение которого
будем искать как сумму общего решения
однородного дифференциального уравнения
и частного решения неоднородного
уравнения
.
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой решение уравнения затухающих колебаний и имеет вид:
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
.
В большинстве случаев 1-ое слагаемое можно не учитывать, так как оно достаточно быстро обращается в ноль и играет некоторую роль лишь в начальный период становления колебательного процесса.
Проводя соответствующие математические операции, получим:
|
Рис. 25 |
Для получений выражений, определяющих амплитуду и начальную фазу, воспользуемся методом векторных диаграмм.
Каждое из полученных соотношений представим как вектора с максимальным значением, равным множителю перед косинусом.
Вектор
направим вдоль оси OX,
вектор
опережает его на
и пойдет вдоль оси OY,
вектор
опережает на
,
следовательно, пойдет вдоль отрицательной
части оси OX.
Сложив графически эти вектора, получим
направление и величину
.
;
.
Полученное выражение для амплитуды вынужденных колебание показывает, что ее величина существенно зависит от разности между частотой собственных колебаний системы и частотой вынуждающей силы.
Все это приводит к тому, что при некоторой частоте, зависящей от параметров колебательной системы, амплитуда достигает своего максимального значения.
б) Резонанс
Резонансом называется резкое возрастание амплитуды колебаний системы при совпадении частоты собственных колебаний с частотой вынуждающей силы.
Что бы найти резонансную частоту, нужно исследовать на экстремум функцию, определяющую изменение амплитуды:
.
Взяв первую
производную по частоте
от
этой функции, а точнее от ее знаменателя,
и приравняв ее к нулю, получим:
Это уравнение третьей степени имеет три корня:
1-вый корень - =0. В этом случае знаменатель в будет максимальным, следовательно, амплитуда будет минимальной.
2-ой и 3- ий корни
При
- задача не имеет физического смысла;
при
- амплитуда колебаний будет максимальна.
Таким образам, резонансная частота определяется соотношением:
Подставив эту частоту в , получим выражение для максимальной амплитуды при резонансе:
|
Рис. 26 |
При
амплитуда стремится к бесконечности.
-
начальное отклонение от положения
равновесия. Чем больше
,тем меньше
,
тем сильнее резонансная частота
отличается от частоты собственных
колебаний
.
Математический
и физический маятники.
а) Математический маятник.
Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из длинной, невесомой и нерастяжимой нити, один конец которой закреплен, а к другому подвешена материальная точка.
Движение математического маятника, отклоненного на небольшой угол, представляет собой простое гармоническое колебание. Материальная точка (груз, размеры которого много меньше длины нити) двигается по дуге окружности в идеальном случае с одинаковой амплитудой в обе стороны от положения равновесия и проходит нижнюю точку с максимальной скоростью.
Проверим, насколько верна пропорциональность между смещением маятника и возвращающей силой.
|
Рис. 27 |
Смещение маятника
от положения равновесия определяется
длиной дуги
,
которая равна:
,
где
угол отклонения маятника от вертикальной
оси.
Роль возвращающей силы играет составляющая силы тяжести, вектор которой направлен по касательной к траектории движения материальной точки.
.
В общем случае
колебания математического маятника
нельзя считать гармоническими, так как
возвращающая сила пропорциональна
синусу, а не x
или
.
В случае
математического маятника данная
пропорциональность будет соблюдаться,
если угол отклонения не будет превышать
10-12 градусов, поскольку в этом случае
значения
и
,
выраженного в радианах будут равны
между собой.
Получим дифференциальное уравнение, описывающее гармонические колебания математического маятника:
,
Обозначив
,
получим уравнение простого гармонического
колебания:
.
Поскольку циклическая
частота равна
,
где Т – период колебаний, период
колебаний математического маятника
будет равен:
Из полученной формулы следует, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы. Кроме того, по наблюдениям Галилея, период гармонических колебаний этого маятника в первом приближении не зависит от амплитуды колебаний.
б) Физический маятник.
Физическим маятником называется физическая абстракция, представляющая абсолютно твердое тело способное совершать колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр инерции данного тела.
|
Рис. 28 |
Колебания физического маятника удобно изучать с помощью уравнений динамики вращательного движения.
При отклонении такого маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия и который равен:
,
где
-
масса физического маятника;
- расстояние от точки подвеса до центра
инерции тела.
,
где I
– момент инерции тела.
В случае малых углов отклонения это уравнение примет вид:
,
где
-
частота собственных колебаний физического
маятника.
Соответственно, период колебаний физического маятника равен:
.
Назовем приведенной длиной физического маятника длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.
