ЛЕКЦИЯ 4
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
1.Свободные гармонические колебания без трения.
2.Затухающие гармонические колебания
3. Вынужденные колебания. Резонанс.
4. Математический и физический маятники.
5. Сложение колебаний.
Свободные
гармонические колебания без трения
а)Уравнение гармонических колебаний
Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, т.е. положение этой системы можно задать с помощью одной величины – х.
Это может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние вдоль некоторой заданной линии.
Потенциальная энергия такой системы будет функцией одной переменной:
.
Условимся отсчитывать
и
от одного положения системы – положения
устойчивого равновесия, в котором
имеет минимальное значение. Будем также
считать, что при
и
Разложим функцию в ряд по степеням х; причем ограничимся рассмотрением малых степеней х, высшими степенями будем пренебрегать.
По формуле Маклорена:
.
Так как при х =0
система имеет минимальную энергию,
следовательно, первая производная
,
а вторая производная
,
кроме того ранее условились, что
.
Обозначим
и получим:
Зная как связаны между собой потенциальная энергия и сила, запишем:
Коэффициент пропорциональности является аналогом коэффициента упругости (коэффициент жесткости) определяется свойствами самой колебательной системы.
Это выражение тождественно закону Гука для упругой силы.
Отсюда можно сделать вывод: движение выбранной нами колебательной системы будет определяться квазиупругой силой.
Эта сила направлена к положению равновесия, на что указывает знак (-), её часто называют возвращающей или восстанавливающей силой.
Гармоническими называются колебания, которые возникают под действием возвращающей силы, величина который пропорциональной смещению.
Поскольку гармонические колебания возникают в механической системе под действием упругих или квазиупругих сил, то динамическое уравнение составленное по 2-ому закону Ньютона имеет вид:
,
где
масса
колебательной системы;
её
ускорение;
-
коэффициент упругости;
смещение
системы от положения равновесия.
или
,
где
- циклическая частота гармонических
колебаний или частота собственных
колебаний системы.
Полученное уравнение является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Собственными или свободными называются колебания системы, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.
б) Решение уравнения свободных гармонических колебаний.
Вид функции, являющейся решением данного дифференциального уравнения определим из следующих соображений:
Т.е. вторая производная функции, являющейся решением этого дифференциального уравнения, должна быть равна самой себе, умноженной на коэффициент. Таким свойством обладают функции sin и cos:
.
Следовательно, решение этого дифференциального уравнения можно записать в виде:
,
где
некоторые
константы.
Подставив эту функцию в полученное дифференциальное уравнение, получим, что она удовлетворяет нашему уравнению при любых t, если
.
Произвольно
выбранные константы
и
определяются начальными условиями.
Общий вид решения можно получить, если ввести обозначения:
;
Величина
называется начальной фазой, которая
показывает отставание или опережение,
с которым достигается максимальное
смещение А, по отношению к начальному
моменту времени.
Тогда
где А- максимальное смещение колеблющейся системы от положения равновесия или амплитуда колебаний.
|
Рис. 23 |
Функции, определяющие законы изменения скорости и ускорения при колебательном процессе, можно получить продифференцировав общее решение по времени:
в) Полная кинетическая энергия колебательной системы.
Полная кинетическая энергия колебательной системы является суммой ее кинетической и потенциальных энергий и является величиной постоянной:
=
const
Подставив функции,
определяющие
и
,
получим:
.
Учитывая, что
,
можно записать:
|
Рис. 24 |
Затухающие гармонические колебания
а) Уравнение затухающих колебаний.
В реальных колебательных системах всегда есть силы сопротивления. На совершение работы против этих сил уходит часть энергии системы, в результате полная механическая энергия системы уменьшается.
Будем рассматривать
малые колебания, а только их можно
считать гармоническими. В этом случае
сила сопротивления пропорциональна
скорости, т.е.
,
где
коэффициент
сопротивления.
Знак (-) означает, что сила сопротивления и скорость колебаний всегда направлены в противоположные стороны.
Уравнение движения при наличии сил сопротивления имеет вид:
.
Обозначим:
и
.
Это линейное, однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка описывает затухающие колебания.
б) Решение уравнения затухающих колебаний
Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде:
Множитель перед косинусом определяет уменьшение амплитуды со временем.
Проверим, при каких условиях эта функция будет являться решением полученного уравнения.
;
.
Подставив полученные выражения в уравнение затухающих колебаний, получим:
Левая часть полученного выражения должно обращаться в ноль при любых t,
что возможно если:
Т.е.
Из последнего
выражения видно, что частота затухающих
колебаний
всегда меньше частоты собственных
колебаний.
Скорость затухания
колебаний определяется величиной
,
которую называют коэффициентом затухания.
Логарифмическим декрементом затухания называют величину равную:
=
,
где
и
соседние амплитуды,
- период колебаний.
Закон убывания амплитуды можно записать:
,
где
-
максимальное значение амплитуды.
Найдем время
,
за которое амплитуда уменьшается в e
раз:
По определению
,
т.е.
,
или
.
Получили, что коэффициент затухания обратно пропорционален промежутку времени, за который амплитуда уменьшилась в е раз.
Для характеристики свойств колебательной системы используется величина, которая называется добротность:
Добротность пропорциональна числу колебаний за время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Вообще-то добротность характеризует систему с энергетической точки зрения:
,
где Е – полная механическая энергия системы в начальный момент времени;
W - энергия рассеянная за один период
Очевидно, что чем
меньше энергии рассеивается тем выше
добротность системы. В идеальном случае
(нет сил сопротивления) она равна
.