5.5. Аналіз ймовірнісних розподілів потоків платежів

Базові концепції, що лежать в основі даного методу, викладені у темі 4. Знаючи розподіл ймовірностей для кожного елементу потоку платежів, можна визначити очікувану величину чистих надходжень готівки у відповідному періоді, розрахувати по них чисту теперішню вартість проекту NPV та оцінити її можливі відхилення. Проект із найменшою варіацією доходів вважається менш ризиковим.

Проте проблема полягає у тому, що кількісна оцінка варіації безпосередньо залежить від ступеня кореляції між іншими елементами потоку платежів. Розглянемо два протилежних випадки:

• елементи потоку платежів незалежні один від одного у часі (тобто кореляція між ними відсутня);

• значення потоку платежів у періоді t сильно залежить від значення потоку платежів у попередньому періоді t-1 (тобто між елементами потоку платежів існує тісний кореляційний зв'язок).

Незалежні потоки платежів

У випадку відсутності кореляції між елементами потоку платежів очікувана величина NPV та її стандартне відхилення можуть бути визначені із наступних співвідношень:

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

де - очікуване значення потоку платежів у періоді t; - і-й варіант значення потоку платежів у періоді t; m – кількість передбачуваних значень потоку платежів у періоді t; - ймовірність і-го значення потоку платежів у періоді t; - стандартне відхилення потоку платежів від очікуваного значення у періоді t.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад 5.5

Проект «Е» потребує першопочаткових вкладень у розмірі 10000 гр. од. Запланований потік платежів по проекту характеризується розподілом ймовірностей, наведеним у табл. 5.6. Визначити чисту теперішню вартість NPV та ризик проекту.

Таблиця 5.6

Розподіл ймовірностей потоку платежів

Рік 1		Рік 2		Рік 3
3000	0,3	2000	0,2	3000	0,3
5000	0,4	4000	0,6	5000	0,4
7000	0,3	6000	0,2	7000	0,3

ЕТ із розрахунками для даного прикладу, яку необхідно розробити самостійно, керуючись табл. 5.7, наведена на рис. 5.14.

Таблиця 5.7

Формули таблиці (рис. 5.14)

Комірка	Формула
В11	=SUMPRODUCT(B7:B9;C7:C9)
В12	=SUMPRODUCT((B7:B9-B11)^2;C7:C9)
D11	=SUMPRODUCT(D7:D9;E7:E9)
D12	=SUMPRODUCT((D7:D9-D11)^2;E7:E9)
F11	=SUMPRODUCT(F7:F9;G7:G9)
F12	=SUMPRODUCT((F7:F9-F11)^2;G7:G9)
B14	=NPV(B3;B11;D11;F11)
B15	=B14-B2
B16	=SQRT((B12/(1+B3)^(2*B5))+(D12/(1+B3)^(2*D5))+(F12/(1+B3)^(2*F5)))
B18	=NORM.DIST(0;B15;B16;1)

Рис. 5.14. Розрахунок прикладу 5.5

Зверніть увагу на спосіб задання формул у комірках B12, D12, F12, що обчислюють дисперсію. Вони задані у вигляді формул масиву. Ознакою подібних формул служать фігурні дужки. На відміну від звичайних формули масиву можуть видавати одразу декілька значень. Розглянемо механізм роботи формули масиву для обчислення дисперсії у комірці В12.

Для визначення дисперсії спочатку необхідно обчислити різниці квадратів відхилень від середнього значення. Таким чином, при використанні традиційного підходу довелося б визначити чотири додаткові формули: =(B7-B11)^2, = (B8-B11)^2, =(B9-B11)^2 – для обчислення квадратів відхилень і функцію SUMPRODUCT () – для обчислення суми добутків отриманих відхилень на ймовірності. У даному випадку дії цих чотирьох формул виконуються однією, оскільки вираз (B7:B9-B11)^2 у формулі із комірки В12 повертає не одне значення, а масив із трьох значень (тобто масив різниць квадратів відхилень), які потім перемножуються на відповідні ймовірності (блок С7:С9) та підсумовуються.

Задання формул масиву у ППП Excel має свої особливості.

Формула набирається у рядку вводу звичайним способом, після чого натискається не клавіша ENTER, а комбінація клавіш CTRL+SHIFT+ENTER. При цьому фігурні дужки Excel додасть автоматично. Таким чином, для задання формули масиву у комірці В12 необхідно виконати такі дії:

1. Набрати у рядку вводу: SUMPRODUCT((B7:B9-B11)^2;C7:C9).

2. Натиснути комбінацію клавіш CTRL+SHIFT+ENTER.

Формули масиву – один із потужних та ефективних засобів автоматизації обчислень. У наступному прикладі, використовуючи формули масиву, ми ще більше скоротимо кількість проміжних обчислень (див. формули комірок B12, D12, F12 табл. 5.8). разом з тим їх застосування потребує глибокого розуміння сутності масивів ППП Excel та може викликати певні труднощі у початківців.

Визначивши очікуване значення NPV (2475,06) і величину стандартного відхилення (2257,27), можна провести аналіз ймовірнісного розподілу майбутнього доходу, виходячи із припущення про його нормальний розподіл. Для цього можна скористатися вже відомою для нас функцією NORM.DIST ().

Визначимо ймовірність того, що величина NPV для проекту буде менша або рівна 0.

=NORM.DIST(0; 2475,06; 2257,27 ;1) (Результат: 0,14).

Відповідно ймовірність отримання позитивного значення NPV буде дорівнювати: 1-0,14=0,86 або 86%.

Аналогічно можуть бути визначені ймовірності отримання інших значень NPV.

Сильно залежні (ідеально корельовані) потоки платежів

У випадку існування тісного кореляційного зв’язку між елементами потоку платежів та їх розподілу будуть однакові. Наприклад, якщо фактичне значення надходжень від проекту у першому періоді відхиляється від очікуваного на n стандартних відхилень, всі інші елементи потоку платежів у подальших періодах будуть також відхилятися від очікуваного значення на ту ж величину. Іншими словами, між елементами потоку платежів існує лінійна залежність. Такі потоки платежів називають ідеально корельованими (perfectly correlated).

У цьому випадку формули розрахунків суттєво спрощуються:

(5.11)

(5.12)

(5.13)

Припустимо, що у попередньому прикладі між елементами потоку платежів існує ідеальна кореляція. Розрахунок для цього випадку наведений на рис. 5.15, формули у табл. 5.8.

Рис. 5.15. Розрахунок прикладу 5.5 (ідеальна кореляція)

Таблиця 5.8