4.3. Автоматичний розрахунок показників ризику

ППП Excel передбачає широкий набір засобів автоматизації статистичного моделювання даних від обчислення параметрів описової статистики до побудови складних прогнозних моделей. Для цих цілей в ньому реалізована спеціальна група статистичних і математичних функцій, більшість із яких міститься у додатку Пакет анализа. Список і формати деяких функцій, що використовуються у процесі аналізу ризиків, наведені у табл. 4.3.

Таблиця 4.3

Функції, що використовуються при аналізі ризиків

Найменування функції		Формат функції
Оригінальна версія	Локалізована версія
AVERAGE	СРЗНАЧ	СРЗНАЧ (блок ячеек)
VARP	ДИСПР	ДИСПР (блок ячеек)
SKEW	СКОС	СКОС (блок ячеек)
STDEVP	СТАНДОТКЛОНП	СТАНДОТКЛОНП (блок ячеек)
NORMINV	НОРМОБР	НОРМОБР (вероятность; средн_знач; станд_отклон)
NORMDIST	НОРМРАСП	НОРМРАСП (х; сред_знач; станд_откл; интегральная)

Безпосереднє застосування статистичних функцій ППП Excel, що обчислюють основні характеристики розподілу випадкової величини (середнє значення , дисперсію , стандартне відхилення , обмежено випадком, коли ймовірність здійснення всіх подій вважається однаковою, тобто (див. приклад 4.1).

Проте враховуючи важливість і практичне використання у фінансовому моделюванні цих показників, продемонструємо техніку їх розрахунків із застосуванням вбудованих функцій ППП Excel.

Підготуйте вихідну таблицю з даними прикладу 4.1, як показано на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Вихідна таблиця для вирішення прикладу 4.1

Здійснимо аналіз ризику цієї операції. Перш за все визначимо середню доходність по акціях фірми «Н». оскільки настання будь-якої події у даному прикладі вважається рівноймовірним, для розрахунку шуканої величини можна скористатися функцією СРЗНАЧ (), вказавши в якості аргументів блок комірок В4.В6, що містить передбачувані значення доходності. Введіть у комірку В8:

=СРЗНАЧ(В4:В6) (Результат: 0,09, або 9%)

Для обчислення дисперсії і стандартного відхилення у комірках В9 і В10 необхідно задати такі формули:

=ДИСПР(В4:В6) (Результат: 0,0006)

=СТАНДОТКЛОНП(В4:В6) (Результат: 0,0245, або 2,45%)

Тепер можна легко визначити значення коефіцієнта варіації із співвідношення (4.23). для цього у комірці В11 обчислимо результат відношення стандартного відновлення (В10) до величини середнього значення (В8):

=В10/В8 (Результат: 0,27)

Отримані значення параметрів дозволяють зробити висновок про невисокий ризик акцій фірми «Н». Розрахуємо ймовірність того, що доходність по акціях «Н» буде меншою за величину (9-2,45=6,55). При цьому будемо виходити із припущення, що величина доходності r розподілена за нормальним законом. Тоді із (4.22):

,

де Ф – функція Лапласа.

Для автоматизації розрахунків, пов’язаних із нормальним розподілу ймовірностей, у ППП Excel реалізований ряд спеціальних функцій. Ми будемо використовувати дві функції – НОРМРАСП () і НОРМОБР ().

Функція НОРМРАСП (х; средн_знач; станд_откл; интегральная)

Функція НОРМРАСП () має такі параметри:

х – досліджуване значення випадкової величини;

средн_знач – середнє значення;

станд_откл – стандартне відхилення;

интегральная – 0 або 1.

Залежно від заданого параметру интегральная – 0 (ложь) або 1(истина) – вона повертає щільність розподілу або значення кумулятивної функції розподілу ймовірностей для нормальної випадкової величини.

Визначимо шукану ймовірність . Для цього у комірку В14 введемо формулу:

=НОРМРАСП(6,55; 9; 2,45; 1) (Результат: 0,1586), або

=НОРМРАСП(В8-В10; В8; В10; 1) (Результат: 0,1586)

Таким чином, ця ймовірність приблизно дорівнює 16%. Відповідно ймовірність буде дорівнювати:

=1-НОРМРАСП(В8-В10; В8; В10; 1) (Результат: 0,8414).

На рис. 4.7 наведений фрагмент ЕТ із розрахунками ймовірностей для різних значень ставки доходності . Виконайте ці розрахунки самостійно.

На рис. 4.8 та 4.9 наведені графіки щільності і кумулятивної функції розподілу ймовірностей для прикладу 4.1. Для побудови графіків необхідно попередньо виконати табуляцію функцій на інтервалі та на інтервалі . Для визначення значень також використовується функція НОРМРАСП (), проте значення параметру интегральная при цьому задається рівним 0 (ложь).

Рис. 4.7. Аналіз ризику (приклад 4.1)

Рис. 4.8. Щільність розподілу ймовірностей (приклад 4.1)

Рис. 4.9. Інтегральна крива розподілу ймовірностей

На рис. 4.9 та основних властивостей ймовірностей слідує, що функція розподілу зростає на інтервалі від 0 до 1. Відповідно до правила додавання ймовірностей при ймовірність попадання значення випадкової величини Е в інтервал дорівнює прирощенню функції розподілу ймовірностей:

(4.26)

Визначимо ймовірність попадання в інтервал :

=НОРМРАСП(В8+В10; В8; В10; 1) – НОРМРАСП(В8; В8; В10; 1)

(Результат: 0,3414)

Відповідно ймовірність попадання в інтервал буде дорівнювати:

=НОРМРАСП(В8+В10; В8; В10; 1) – НОРМРАСП (В8-В10; В8; В10; 1)

(Результат: 0,6828)⁵

Ймовірність попадання в інтервал та визначіть самостійно.

Отримані результати служать числовою ілюстрацією правила трьох сигм для нормального закону розподілу (див. рис. 4.4).

Функція НОРМОБР(вероятность; средн_знач; станд_откл)

Функція має такі параметри:

вероятность – ймовірність нормального розподілу;

средн_знач – середнє значення;

станд_откл – стандартне відхилення.

Вона повертає обернений нормальний розподіл для вказаного середнього і стандартного відхилення. Іншими словами, вона дозволяє по заданій ймовірності визначити величину досліджуваної змінної (у нашому прикладі доходності).

Визначимо граничну величину доходності для ймовірності 84%:

=НОРМОБР (0,84; В8; В10) (Результат: 11,45%).

Таким чином, для заданої ймовірності величина доходності складе не більше 11,45%:

.

Функції ППП Excel, що визначають значення параметрів розподілу , та , слід застосовувати лише у тих випадках, коли ймовірності подій рівні. Якщо ж розподіл ймовірностей заданий (наприклад, відомо із попереднього досвіду або отримано методом експертних оцінок), середнє значення, дисперсія та стандартне відхилення розраховується шляхом безпосередньої реалізації засобами ППП Excel відповідних співвідношень – (4.7), (4.13), (4.16). Продемонструємо один із варіантів подібної реалізації на вирішенні прикладу 4.2.

Підготуйте вихідну таблицю з даними прикладу, як показано на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Вихідна таблиця для вирішення прикладу 4.2

Перш за все необхідно визначити середню величину доходності (співвідношення (4.7)). Найпростіший спосіб – послідовно перемножити кожну комірку блоку В5.В7 на відповідну їй комірку блоку С5.С7 та сумувати отримані значення. Неважко помітити, що дана послідовність дій представляє собою операцію знаходження суми добутків елементів двох матриць. Оскільки матричні операції досить часто зустрічаються у прикладному аналізі, для автоматизації їх виконання у ППП Excel реалізована спеціальна група математичних функцій. Формати деяких функцій цієї групи, які будуть використовуватися в даній темі, наведені у табл. 4.4.

Таблиця 4.4

Математичні функції, що використовуються при аналізі ризиків

Найменування функції		Формат функції
Оригінальна версія	Локалізована версія
SUMPRODUCT	СУМПРОИЗВ	СУМПРОИЗВ (масив 1; масив 2)
SQRT	КОРЕНЬ	КОРЕНЬ (число)

Зокрема, для виконання необхідної нам операції зручно використовувати функцію СУММПРОИЗВ (). Як слідує із табл. 4.4, аргументами функції є матриці однакового розміру. Вводимо в комірку і формулу:

=СУММПРОИЗВ (В5:В7;С5:С7) (Результат: 0,15, або 15%)

Для визначення величини стандартного відхилення необхідно спочатку обчислити дисперсію. Із (4.13) слідує, що дисперсія випадкової величини представляє собою суму квадратів відхилень від середнього, зважених на відповідні ймовірності. Задамо у комірці D5 формулу обчислення дисперсії для першої події⁶:

=В5*(С5-$В$9)^2 (Результат: 0,2165).

Зверніть увагу на те, що для задання комірки, що містить середнє значення (В9), використовується спосіб абсолютної адресації. Це дозволяє скопіювати дану формулу у комірки D6.D7 (у проилежному випадку адрес комірки, що містить середнє значення, був би налаштований неправильно). Тепер можна обчислити величину стандартного відхилення, яка дорівнює квадратному кореню із дисперсії (сума комірок D5.D7). Для цього скористаємося функцією КОРЕНЬ (). Введіть у комірку В10:

=КОРЕНЬ(СУММ(D5.D7)) (Результат: 0,6584, або 65,84%).

Обчислення коефіцієнта варіації не представляє особливих труднощів. Для цього достатньо просто розділити значення комірки В10 на значення В9. Вводіть у комірку В11:

=В10/В9 (Результат: 4,39).

Обчисливши основні параметри розподілу випадкової величини, можна визначити ймовірність її попадання в деякий інтервал. У наведеній на рис. 4.11 таблиці межі першого інтервалу задаються у комірках В16 та С16. Визначимо ймовірність того, що значення доходності потрапляє в інтервал (-70; 0). Введіть межі аналізованого інтервалу у комірки В16 і С16. Формула обчислення ймовірності у комірці D16 реалізована із використанням вже відомої нам функції НОРМРАСП () та має такий вигляд:

=НОРМРАСП(С16; $В$9; $В$10; 1) – НОРМРАСП(В16; $В$9; $В$10; 1)

Результат: 0,31).

Знову звертаємо увагу на використання абсолютної адресації при заданні у формулах комірок, що містять середнє значення та стандартне відхилення.

Рис. 4.11. Підсумкова таблиця аналізу ризиків (фірма «А»)

Для подальшого аналізу достатньо вказати інтервали, що нас цікавлять, та скопіювати формулу у комірці D16 необхідну кількість разів. На рис. 4.11 наведена підсумкова таблиця, що містить деякі результати аналізу ризику по акціях фірми «А» (приклад 4.2). аналогічна таблиця на рис. 4.12 містить результати ризику по акціях фірми «В».

Рис. 4.12. Підсумкова таблиця аналізу ризиків (фірма «В»)

В якості вправи попробуйте розробити таблицю аналізу ризиків для фірми «В» самостійно, використовуючи рис. 4.10 в якості зразка. Порівняйте отримані результати.

На рис. 4.13 наведений шаблон для автоматизації проведення аналізу ризиків, виходячи із припущення про нормальний розподіл випадкової величини (у даному випадку доходності). Формули та власні імена комірок, що використовуються у шаблоні, наведені у таблю 4.5 та 4.6. Сформуйте його самостійно. Нижче подаються необхідні пояснення.

Таблиця 4.5

Формули шаблону

Адреса комірки	Формула
D5	=В5*(С5-Середнє)^2
D6	=В6*(С6-Середнє)^2
B8	=СУММПРОИЗВ (В5:В6; С5:С6)
B9	=КОРЕНЬ(СУММ(D5:D6))
B10	=Відхилення/Середнє
D15	=НОРМРАСП(С15; Середнє; Відхилення; 1) – НОРМРАСП (В15; Середнє; Відхилення; 1)

Таблиця 4.6

Імена комірок шаблону

Адрес комірки	Ім’я
В8	Середнє
В9	Відхилення

Перша частина шаблону разом з елементами оформлення займає блок комірок A1.D6. вона забезпечує введення та обробку вихідних даних для мінімально допустимого числа альтернатив. При цьому комірки блоку D5.D6 заповнюються автоматично. У випадку необхідності базовий шаблон можна легко модифікувати для обробки будь-якої кількості подій, вставивши необхідну кількість разів.

Формули блоку В8.В10 обчислюють основні параметри доходності. Блок комірок В13.D15 призначений для подальшого аналізу ймовірностей. Інтервали доходності, що цікавлять аналітика, вводяться у комірки В15.С15, В16.С16 і т.д. Формула, задана у комірці D15, обчислює відповідну ймовірність і у випадку необхідності може бути скопійована необхідну кількість разів.

Збережіть отриманий шаблон. Перевіримо працездатність шаблону на наступному прикладі.

Рис. 4.13. Таблиця-шаблон для аналізу ризиків

Приклад 4.4

Прогнозовані доходності по акціях по акціях фірми «К» та «Р» мають такі розподіли ймовірностей (табл. 4.7).

Таблиця 4.7

Дохідність по акціях (приклад 4.4)

Ймовірність	Доходність
	Акції «К»	Акції «Р»
0,15	-15%	-25%
0,20	0%	10%
0,40	15%	20%
0,20	20%	30%
0,05	35%	45%

Здійснимо аналіз ризиків операцій з акціями фірм «К» і «Р».

Для вирішення задачі із використанням розробленого шаблону необхідно виконати такі кроки:

1. Встановити табличний курсор у комірку А6.

2. Встановити в шаблон три нових рядки.

3. Ввести вихідні дані в комірки В5.С9.

4. Скопіювати формулу комірки D5 у блок D6.D8.

5. Ввести значення доходності, що нас цікавлять, у комірки В18.С18 і т.д.

6. Скопіювати формулу комірки D18 необхідну кількість разів.

Деякі результати аналізу, виконаного для акцій фірми «Р», наведені на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Аналіз ризиків (акції фірми «Р»)

Керуючись п. 1-6, проаналізуйте ризики для акцій фірми «К». Порівняйте отримані результати. Акціям якої фірми ви б віддали перевагу? Чому?

Розглянуті в даній темі підходи і поняття представляють собою потужний аналітичний інструментарій, що широко використовується у фінансовому моделюванні для прийняття рішень в умовах неповної інформації або навіть невизначеності. Разом із концепцією чистої теперішньої вартості вони складають фундамент, на якому базується ряд важливих розділів фінансового моделювання, пов’язаних з оцінкою ефективності інвестицій. Практичне застосування викладених підходів буде показано у темі 5.

• Ризик в умовах ризику – неминуча плата за свободу підприємництва. Його існування пов’язане з неможливістю у багатьох випадках із 100%-ною впевненістю передбачити настання тих або інших подій, які можуть не залежати від наших бажань, дій, вчинків.

• У загальному випадку під ризиком розуміють можливість настання деякої несприятливої події, що зумовлює виникнення різного роду втрат (наприклад, втрати майна, збиток від зміни валютного курсу і т.п.).

• Залежно від ступеня деталізації і обраного підходу можуть бути сформульовані різні визначення підприємницького ризику. Одним і найпоширеніших є підхід, відповідно до якого ризик інтерпретується як можливість відхилення фактичних результатів здійснюваних операцій від очікуваних (прогнозованих). Чим ширший діапазон можливих відхилень, тим вищий ризик даної операції.

• Поняття «ризик» і «доходність» тісно пов’язані між собою. Чим вищий ризик операції, тим вищою повинна бути необхідна доходність.

• Ризик має ймовірнісну природу. Тому для його вимірювання використовуються показники, що характеризують розподіл ймовірностей випадкової величини. Найважливіші з них: середнє (очікуване) значення, дисперсія і стандартне відхилення.

• Математичне очікування (середнє, або очікуване, значення) – найважливіша характеристика випадкової величини, оскільки служить центром розподілу її ймовірностей.

• Показники дисперсії і стандартного відхилення характеризують розкид випадкової величини відносно центру її розподілу. Чим більший розкид, тим вищий ризик даної операції.

• Відносним вимірюванням ризику є коефіцієнт варіації. Визначення його особливо корисно у тих випадках, коли середні доходності порівнюваних операцій сильно відрізняються.

• Знаючи закон розподілу та його основні параметри, можна визначити ймовірність того, що значення випадкової величини буде знаходитися у заданому інтервалі.

• Закон нормального розподілу широко використовується у різних сферах людської діяльності для наближеного описування випадкових явищ, оскільки потребує знання лише двох параметрів – середнього значення М(Е) і стандартного відхилення σ (Е).

• Застосування табличних процесорів дозволяє швидко та ефективно розраховувати показники ризику фінансових операцій. У ППП Excel для цього можуть бути використані такі групи функцій: статистичні (СРЗНАЧ ( ), ДИСПР ( ), СТАНДАРТОТКЛОНП ( ), НОРМРАСП ( ), НОРМОБР ( ), СКОС ( )); математичні (КОРЕНЬ ( ), СУММПРОИЗВ ( )) та ін.

Питання для самоконтролю

1. Дайте визначення ризику. В чому його суть?

2. Які види підприємницького ризику ви знаєте?

3. Яка залежність існує між ризиком і прибутковістю фінансових операцій?

4. У чому суть концепції випадковості?

5. Дайте визначення ймовірності, назвіть її основні властивості.

6. Які типи випадкових величин ви знаєте?

7. Дайте визначення дискретної випадкової величини.

8. Який показник є центром розподілу випадкової величини? Перелічіть його основні властивості і наведіть формулу для його обчислення.

9. Які показники використовуються для оцінки розкиду випадкової величини? Перелічіть їх властивості, напишіть формулу для їх обчислення.

10. Як визначити коефіцієнт варіації?

11. Дайте визначення нормального закону розподілу ймовірностей, назвіть його властивості.

12. У чому полягає правило «трьох сигм»?

13. Для чого використовується функція розподілу ймовірностей Лапласа?

14. Які функції ППП Excel використовуються при аналізі ризиків фінансових операцій?

Задачі і вправи

Використовуючи розроблені шаблони, виконайте наступні вправи.

1. Інвестиційний фонд розглядає можливість придбання акцій фірм «А», «В» і «С». Запропоновані доходності по акціях та відповідні ймовірності наведені у таблиці.

Фірма «А»		Фірма «В»		Фірма «С»
Доходність, %	Ймовірність	Доходність, %	Ймовірність	Доходність, %	Ймовірність
5	1/3	4	1/4	2	1/5
6	1/3	7	1/2	9	3/5
9	1/3	10	1/4	18	1/5

Визначте ризик по акціях кожної фірми і дайте свої рекомендації щодо доцільності їх використання.

2. Інвестиційний фонд розглядає можливість придбання акцій фірм «А», «В» і «С». Передбачувані доходності по акціях і відповідні ймовірності наведені у таблиці:

Фірма «А»		Фірма «В»		Фірма «С»
Доходність, %	Ймовірність	Доходність, %	Ймовірність	Доходність, %	Ймовірність
4	0,2	5	0,1	6	0,4
6	0,3	6	0,3	7	0,3
8	0,4	7	0,2	8	0,2
9	0,1	8	0,3	18	0,1
		9	0,1

Визначте ризик по акціях кожної фірми і дайте рекомендації відносно їх придбання.

3. Банк пропонує своєму клієнту інвестувати кошти в акції промислових підприємств «Х», «У», «К». Експерти фондового відділу банку пропонують наступний розподіл доходності:

Акції «Х»		Акції «У»		Акції «К»
Доходність, %	Ймовірність	Доходність, %	Ймовірність	Доходність, %	Ймовірність
24	0,1	19	0,2	18	0,25
18	0,15	10	0,4	16	0,25
14	0,4	5	0,4	12	0,25
10	0,2			8	0,25
6	0,15

Акції якого підприємства менш ризикові? Більш ризикові? Наведіть відповідні розрахунки.

4. Використовуючи дані попереднього завдання, виконайте графічний аналіз ризиків по акціях підприємств «Х», «У», «К».

5. Очікувані доходності по акціях корпорацій «Н» і «Р» мають такі розподіли:

Ймовірність	Доходність, %
	Акції «Н»	Акції «Р»
0,1	-10	-35
0,2	2	0
0,4	12	20
0,2	20	25
0,1	38	45

Чи вірне твердження, що більшість інвесторів будуть вважати акції «Р» менш ризиковими, ніж акції «Н»? Підкріпіть відповідь відповідними розрахунками.

6. Використовуючи дані попереднього прикладу, визначте ймовірність того, що доходність по акціях компаній «Н» і «Р» буде:

а) від’ємною; б) нульовою; в) додатною.

7. Визначте ймовірність того, що доходність по акціях фірми «С» (див. умову задачі 2) попаде в інтервал:

а) від 8% до 18%; б) від 6% до 8%; в) від 0 до 7%.

8. Визначте величину коефіцієнта асиметрії для всіх попередніх прикладів (скористайтеся функцією СКОС () ). Для яких прикладів припущення про нормальний розподіл випадкової величини не зовсім коректне?

1 В якості центру розподілу інколи використовують медіану і моду випадкової величини.

2 Це твердження отримало назву правило трьох сигм.

3 Значення функції Лапласа наводяться у довідникових статистичних таблицях. Ми будемо використовувати відповідні функції ППП Excel для виконання необхідних розрахунків.

4 Виведення формули для коефіцієнта асиметрії потребує попереднього розгляду поняття центральних моментів. У ППП Excel для його обчислення реалізована спеціальна функція СКОС ().

5 Даний результат можна було б отримати, перемножуючи попередній на 2 (див. рис. 4.8)

6 Більш ефективний спосіб подібних розрахунків полягає у використання масивів ППП Excel