4.2. Закон нормального розподілу ймовірностей

Нормальний розподіл широко використовується у різних сферах людської діяльності для наближеного опису випадкових явищ, так як потребує знання лише двох параметрів – середнього значення і стандартного відхилення .

Наведені на рис. 4.1 та 4.2 графіки побудовані виходячи із припущення, що доходність по акціях фірм має нормальний розподіл ймовірностей.

Випадкова величина має нормальний розподіл ймовірностей із параметрами а і , якщо щільність її розподілу задається формулою:

(4.18)

.

Математичне очікування і дисперсія нормальної випадкової величини Е відповідно дорівнюють а та :

(4.19)

(4.20)

Нормальний розподіл володіє рядом важливих властивостей, які наводяться нижче без доведення:

1. ймовірність великих відхилень нормальної випадкової величини від центру її розподілу (параметра а) дуже мала;

2. графік функції щільності нормального розподілу симетричний відносно середньої (параметра а);

3. стандартне відхилення характеризує ступінь стискання або розтягування графіка функції щільності розподілу ймовірностей;

4. нормальна випадкова величина Е із математичним очікуванням а і стандартним відхиленням із ймовірністю близькою до 1 потрапляє в інтервал:

²; (4.21)

5. Якщо випадкова величина Е розподілена за нормальним законом із математичним очікуванням а і стандартним відхиленням , то:

(4.22)

де Ф – функція розподілу ймовірностей Лапласа.

Співвідношення (4.22) дозволяє визначити ймовірність того, що випадкова величина Е буде меншою (більшою) заданого значення х³.

Для більш наочної ілюстрації властивостей нормального розподілу повернемося до прикладу, який ми розглядали. На рис. 4.3 наведений детальніший графік функції щільності розподілу ймовірностей для акцій фірми «В», що ілюструю правило трьох сигм.

Рис. 4.3. Ілюстрація правила трьох сигм (акції фірми «В»)

Неважко помітити, що графік симетричний відносно середнього значення доходності – 15% (раніше ми визначили, що параметр а=15%, параметр =3,87%). Відповідно до правила трьох сигм (4.21), із ймовірністю близькою до 1, можна стверджувати, що прогнозована доходність за акціями фірми «В» буде знаходитися у діапазоні 15±11,61 (тобто від 3,39% до 26,61%). Подальші розрахунки показують, що ймовірність попадання доходності в інтервал 15±7,74 ( ) складе приблизно 0,94, або 94%, а в інтервал 15±3,87 ( ) – 68,17%. Таким чином, із більшою часткою впевненості (майже 70%) можна припускати, що доходність за акціями фірми «В» не буде нижче 11%. Відповідно ймовірність оберненого твердження складає не більше 32%.

Коефіцієнт варіації

Ще одним корисним показником, що використовується при аналізі ризиків, є коефіцієнт варіації, який обчислюється за формулою:

(4.23)

На відміну від стандартного відхилення коефіцієнт варіації – відносний показник, він визначає ступінь ризику на одиницю середнього доходу. Здійснимо розрахунок коефіцієнтів варіації для акцій фірм «А» і «В»:

, .

Відповідно, ризик на середню одиницю доходу по акціях фірми «А» майже у 17 разів вищий, ніж у фірми «В».

У випадку однакових або нульових середніх значень доходності обчислення цього показника втрачає сенс. Очевидно, що при рівних середніх чим більша величина стандартного відхилення , тим більший коефіцієнт варіації. Визначення коефіцієнтів варіації особливо корисне у тих випадках, коли середня доходність операцій, що порівнюються, суттєво відрізняється. Розглянемо наступний приклад.

Приклад 4.3

Очікувана доходність по акціях фірм «Х» та «У» дорівнює 45%±15% і 8%±4% відповідно. Визначіть ступінь ризику операцій із даними акціями.

Відповідно до значень стандартних відхилень, розкид доходності по акціях фірми «Х» значно вищий, відповідно, її акції повинні бути більш ризиковими. Визначимо коефіцієнти варіації:

, .

Однак розрахунки показують, що ступінь ризику на середню одиницю доходу вищий у фірми «У». Яка операція пов’язана із великим ризиком?

На рис. 4.4 наведені графіки щільностей розподілу ймовірностей для доходності по акціях обох фірм.

Рис. 4.4. Щільність розподілу ймовірностей (приклад 4.3)

На перший погляд критерії явно протирічать один одному, хоча інтуїтивно зрозуміло, що ймовірність отримання нульового або від’ємного доходу по акціях фірми «У» значно вища (рис. 4.4). проведений автором розрахунок показав, що відповідні ймовірності дорівнюють 2,3% для акцій «У» і всього 0,13% для «Х».

Скористаємося правилом трьох сигм. Неважко помітити, що для акцій фірми «У» нульове значення доходності потрапляє у діапазон ( ), а від’ємне – в ( ). Тоді як по акціях фірми «Х» отримання нульової доходності можливо лише у крайньому випадку – ( ), а ймовірність отримання від’ємної доходності практично дорівнює 0, оскільки середня доходність дуже висока і у 3 рази перевищує величину стандартного відхилення.

Наведений приклад демонструє переваги застосування коефіцієнту варіаціях у випадках, коли середні доходності значно відрізняються.

Закон нормального розподілу ймовірностей широко використовується у процесі аналізу ризиків фінансових операцій. Його найважливіші властивості, такі, як симетричність розподілу відносно середньої, дуже мала ймовірність великих відхилень значень випадкової величини від центру її розподілу, правило трьох сигм, дозволяють суттєво спростити проведення аналізу і виконання супутніх розрахунків.

Однак не всі фінансові операції передбачають нормальний розподіл доходів. Наприклад, розподіл ймовірностей отримання доходів від операцій із похідними фінансовими інструментами (опціонами, ф’ючерсами) часто характеризуються асиметрією (скосом) відносно математичного очікування випадкової величини.

Так, опціон на покупку цінного паперу дозволяє його власнику отримати прибуток у випадку додатної доходності і водночас уникнути збитків у випадку від’ємної доходності. По суті опціон на покупку відсікає розподіл доходності у тій точці, де починаються втрати.

На рис. 4.5 наведено графік щільності розподілу ймовірностей із позитивною (правою) асиметрією.

Рис. 4.5. Асиметричний розподіл

Неважко помітити, що точка максимуму функції щільності розподівлу відповідає доходності у 14% і не співпадає з очікуваним значенням (19%). У подібних випадках використання у процесі аналізу лише двох параметрів (середньої і стандартного відхилення) може призводити до невірних висновків. Стандартне відхилення неадекватно характеризує ризик при зміщених розподілах, так як при цьому ігнорується той факт, що більша частина мінливості припадає на «хорошу» (праву), або «погану» (ліву) сторону очікуваної доходності.

Окрім середнього значення і стандартного відхилення, асиметричні розподіли часто потребують знання додаткового параметра – коефіцієнта асиметрії (скосу)⁴.

Коефіцієнт асиметрії (скосу)

Коефіцієнт асиметрії (skew) представляє собою нормовану величину третього центрального моменту і визначається за формулою:

(4.24)

Сенс коефіцієнта асиметрії стосовно до проблеми, що розглядається, полягає у наступному. У випадку позитивного значення коефіцієнта (додатного скосу) найвищі доходи (правий «хвіст») вважаються більш ймовірними, ніж найнижчі. Відповідно у випадку від’ємного коефіцієнта асиметрії більш ймовірними будуть вважатися найнижчі доходи.

Коефіцієнт асиметрії може також використовуватися для приблизної перевірки гіпотези про нормальний розподіл випадкової величини. Його значення у цьому випадку повинно бути рівним 0.

У ряді випадків зміщений вправо розподіл можна звести до нормального додаванням 1 до очікуваної величини доходності і подальшим обчисленням натурального логарифму отриманого значення. Такий розподіл називають логнормальним. Логнормальний розподіл поряд із нормальним широко використовуються у фінансовому аналізі.

Ексцес

Деякі симетричні розподіли можуть характеризуватися четвертим нормованим центральним моментом – ексцесом (excess), що обчислюється за формулою:

(4.25)

Якщо значення ексцесу більший нуля, крива розподілу більш гостроконечна, ніж нормальна крива. У випадку від’ємного ексцесу крива розподілу більш полога порівняно із нормальною.

Економічний сенс цієї характеристики полягає у наступному. Якщо дві операції мають симетричний розподіл доходів та однакові середні, менш ризиковою вважається інвестиція із більшою величиною ексцесу. Для нормального розподілу величина ексцесу дорівнює нулю.

У ППП Excel реалізовані спеціальні функції, що автоматизують проведення відповідних розрахунків для видів розподілів та їх параметрів, що найбільше використовуються на практиці. Зокрема, для визначення значень коефіцієнта асиметрії та ексцесу використовуються функції СКОС () та ЭКСЦЕСС ().