4.1. Випадкові події. Ймовірності. Закони розподілів

Сучасні методи кількісного аналізу ризику базуються на ідеї випадковості.

Відповідно до цієї ідеї, результат явища із невизначеним (наперед невідомим) завершенням визначається деякою випадковою подією, експериментом, вибором. Наприклад, зміну цін акцій у багатьох випадках можна описати, використовуючи результати досвіду кидання монети. Очевидно, що точні результати проведення такого експерименту наперед передбачити не можна. Однак передбачається, що випадковий експеримент можна описати, перелічивши його можливі результати і вказавши для кожного із них числову міру правдоподібності або достовірності здійснення.

Кількісне вимірювання ступеня достовірності реалізації випадкових подій і результатів, щ їм відповідають, базується на понятті ймовірності.

Поняття ймовірності

Випадковою називається подія, яка при даному комплексі умов може відбутися або не відбутися.

Під ймовірністю р події Е розуміють відношення числа К випадків, що сприяють настанню цієї події, до загальної кількості М всіх рівноможливих випадків:

(4.1)

Із класичного визначення ймовірності випливає цілий ряд її важливих властивостей:

1. ймовірність події є невід’ємним числом:

(4.2)

2. ймовірність достовірної події, тобто події, яка за даного комплексу умов обов’язково відбудеться, дорівнює 1; ймовірність неможливої події дорівнює 0.;

3. ймовірність події може набувати значення, що знаходиться у діапазоні від 0 до 1:

(4.3)

Розглянемо наступний умовний приклад.

Приклад 4.1

Розглядається можливість придбання акцій нещодавно утвореної фірми «Н». передбачається, що прогнозована дохідність за акціями цієї фірми через рік буде залежати від стану попиту на її продукцію впродовж даного періоду і відповідно дорівнює: 12% - у випадку підвищеного попиту; 9% - при звичайному попиті; 6% - при помірному попиті.

У наведеному прикладі передбачається, що дохідність акцій r залежить від реалізації однієї із трьох зовнішніх подій (стану попиту), кожна із яких має рівні шанси здійснитися. Так як настання однієї із них виключає настання двох інших (тобто вони попарно несумісні і рівноможливі), ймовірність здійснення кожної із них, відповідно до (4.1) дорівнює 1/3 або 0,33 (33%).

Оскільки на момент прийняття рішення невідомо, яка саме із подій відбудеться (яким попитом буде користуватися продукція фірми впродовж року з моменту придбання акцій) і особа, що приймає рішення, не може здійснювати жодного впливу на хід подій, можна припускати, що конкретне значення доходності за акціями фірми за період зберігання залежить від випадку, тобто є випадковою величиною.

Випадкові величини та закони їх розподілу

Випадковою називається величини, яка в результаті досліду може набувати різних або наперед невідомих значень. Випадкові величини можна розділити на два основних види – дискретні і неперервні. У процесі кількісного аналізу фінансових ризиків використовуються дискретні випадкові величини.

Величина Е називається дискретною випадковою величиною, якщо множина її можливих значень Х₁, Х₂, …, Х_k скінчена або злічена і прийняття нею кожного із вказаних значень є випадкова подія із певною ймовірністю.

Випадкова величина доходності за акціями із прикладу, що розглядається є дискретною, оскільки ми можемо перелічити або перенумерувати всі її значення.

Будь-яке правило, що дозволяє знаходити ймовірності всіх значень випадкової величини Е, називають законом розподілу її ймовірностей. Для дискретної випадкової величини цей закон задається у вигляді таблиці, в якій перелічують всі її можливі значення та їх ймовірності. При цьому якщо число її значень скінчене, сума їх ймовірностей дорівнює 1:

(4.4)

Закон розподілу ймовірностей для прикладу 4.1 представлено у табл. 4.1.

Таблиця 4.1