42. Угадайка

Один из игроков загадал число, меньшее 100. Другой задает ему вопросы, на которые первый может отвечать только «да» или «нет». Как правильно задавать вопросы, чтобы как можно быстрее отгадать число?

Угадайка с враньём. Тот же вопрос, если отвечающий может соврать один раз.

Угадайка с платой. За каждый ответ «да» спрашивающий платит 1 рубль, за каждый ответ «нет» – 2 рубля. Как правильно задавать вопросы, чтобы отгадать число, заплатив как можно меньшую сумму?

 

43. Эволюция клеток

Бесконечная в обе стороны полоса клетчатой бумаги состоит из черных и белых клеток. Каждую секунду клетка, имеющая четное число черных соседей, становится белой, а имеющая нечетное число черных соседей – черной. Изучить эволюцию узоров.

 

44. Мудрецы у людоедов

Мудрецы попали в плен к людоедам. У людоедов есть такой обычай. Пойманных пленников выстраивают в колонну и надевают им на головы колпаки – кому белый, кому черный – наугад. Каждый пленник видит, какого цвета колпаки у всех, кто стоит перед ним, но не знает, какой колпак у него самого и у всех, кто стоит за ним. Каждый пленник, начиная с последнего, должен сказать, какого цвета у него колпак (остальные слышат его ответ). Тех, кто ответил правильно, – отпускают. Остальных – съедают. Мудрецы знают про обычай и могут между собой договориться. Как мудрецам спасти побольше человек? Какое наибольшее число человек можно спасти в самом худшем случае?

 

45. Сумма кубов цифр

С десятичной записью натурального числа проделывают следующую операцию: находят

сумму кубов его цифр, для полученного числа снова находят сумму кубов его цифр и т.д.

Какие последовательности чисел могут получаться?

 

46. Задача Иосифа Флавия

Несколько школьников стоят по кругу и играют в считалочку. Выходят через одного, начиная со второго (выходят второй, четвёртый, шестой и т.д.). Требуется найти, каким по счёту нужно встать, чтобы остаться последним в кругу.

47. Обезьяна и кокосы

Есть башня в 10 этажей и два кокоса. Кокосы можно сбрасывать с каждого этажа и они могут разбиться и не разбиться. Нужно определить максимальный этаж, с которого кокос может упасть не разбившись, за наименьшее число попыток (обезьяна ленивая).

Например, если бы у обезьяны был только один кокос, то бросать его приходилось бы со всех этажей начиная с первого этажа.

48. Игра Ним

В игре Ним играют двое. Есть несколько кучек с камнями. За один ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот игрок, который возьмет камни последним. Требуется разработать стратегию игры в Ним.

Начала математического анализа, топология и др.

49. Задача о блинах

Два блина произвольной формы лежат один на другом. Доказать, что можно одним разрезом ножа разделить оба блина на две части равные по площади.

50. Удивительные линии

По «определению» Евклида, линия есть длина без ширины. Это определение не является строгим, тем не менее, до 19 века математики довольствовались «очевидностью» этого объекта. Первым попытался дать строгое определение линии К. Жордан (линия – след непрерывно движущейся точки). Оказалось, однако, что под это определение подходит кривая Пеано – след движущейся точки, заметающий квадрат! Предлагается разобраться, чем кончилось дело и познакомиться с удивительными, непривычными линиями (снежинка Коха, ковер Серпинского и т.д.).