34. Число циклов

Рассмотрим перестановку шести чисел:

(эта запись означает, что каждое число из верхней строчки переходит в стоящее под ним число нижней: 1 переходит в 2, 2 – в 1, 3 – в 3, и так далее). Будем производить перестановку многократно и проследим за судьбой каждого числа:

1-> 2 -> 1 -> 2 -> 1 -> 2 -> …  Получился цикл длины 2.

3 -> 3-> 3 -> … Получился неподвижный элемент или цикл длины 1.

4-> 6 -> 5 -> 4 -> 6-> 5 -> …  Получился цикл длины 3.

Задача: изучить все перестановки данных шести чисел и подсчитать общее количество циклов длины 1, 2, 3, …, 6 в этих перестановках. Обобщить на перестановку n чисел.

 

35. Перестановки диагоналей

У куба четыре большие диагонали. Сколько разных перестановок этих четырёх отрезков осуществляют все вращения куба?

 

36. Подсчёт деревьев

Соедините n точек 1, 2, 3, …, n отрезками так, чтобы получилось дерево (т.е. граф, в котором есть путь из любой вершины в любую, но нет циклов – замкнутых путей; отрезков должно быть n -1). Сколько разных деревьев можно получить?

37. Ломаные

Задача состоит в том, чтобы описать все замкнутые ломаные, пересекающие каждое свое звено ровно один раз и имеющие заданное число звеньев. Например, для 6 звеньев существует ровно одна такая ломаная.

Темы по комбинаторике см. также в [Ст 8, 11, 12].

АЛГОРИТМЫ

Такого раздела нет в школьной программе. Эти задачи требуют не столько школьных знаний, сколько логики, умения рассуждать и не бояться нестандартных вопросов (иногда весьма сложных). И поэтому такие задачи – шанс начать «новую жизнь» для школьника, не очень успешного в математике.

 

38. Монетки

Имеется несколько настоящих монет – все одного веса, и одна фальшивая – она легче. Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах понадобится, чтобы определить фальшивую монету? Как надо взвешивать? Сначала решите задачу для 3, 9, 27 монет. Та же задача, если фальшивая монета отличается по весу от настоящих, но неизвестно, в какую сторону.

39. Игра в полоску

Играют двое, они ходят по очереди. Игровое поле – полоска, разделенная на клетки. За один ход игрок может закрасить одну клетку или две соседние клетки. Красить клетки повторно нельзя. Выигрывает тот, кто закрасил последнюю клетку, т.е. сделал последний ход. Длина полоски может быть любой. Задача ученика – научиться выигрывать при любой длине полоски.

40. Не больше половины

Дана кучка камней. Играющие (их двое) по очереди берут камни, причём игрок не может пропускать ход (не брать камни), и может взять не больше половины камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

41. Ладья – ферзь

1. Ладья. Двое играют в следующую игру: на поле, ограниченном снизу и слева, они двигают ладью по очереди вниз или влево. Выигрывает тот, кто ставит ладью в угол доски (клетка 1,1). Требуется найти правильную стратегию игры и определить, кто будет выигрывать, начиная с данной точки поля.

2. Ферзь. Двое играют в следующую игру: на поле, ограниченном снизу и слева, они двигают ферзя вниз, влево или по диагонали вниз и влево. Выигрывает тот, кто ставит ферзя в угол доски (клетка 1,1). Требуется найти правильную стратегию игры и определить, кто будет выигрывать, начиная с данной точки поля.