26. «Двуправильные» шестиугольники

Будем называть шестиугольник «двуправильным»¹, если у него стороны равны через одну и углы равны через один. Найдите и докажите свойства двуправильных шестиугольников. (Двуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств.)

 

27. Замечательные точки

1. Даны две фиксированные точки окружности A и B и «переменная» точка окружности C. По какой траектории движутся точки пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника ABC, когда точка C «пробегает» окружность?

2. Пусть в плоскости даны точка A – вершина треугольника, и точка O – его центр описанной окружности. Где может находиться точка пересечения медиан G?

3. Пусть в плоскости даны две точки O и H, и ∆ обозначает любой треугольник, для которого точка O является центром его описанной окружности, а точка H — его ортоцентром. Где могут находиться вершины треугольника ∆?

   

28. Сложение фигур

Пусть заданы две фигуры F и G. Назовём полусуммой этих фигур множество всех середин отрезков, один конец которых принадлежит F, а другой – G. Что является полусуммой двух отрезков? Какие фигуры могут быть полусуммами многоугольников?

Темы по геометрии см. также в [Ст 7, 10, 11].

 

КОМБИНАТОРИКА

 

Почти все задачи по формулировкам и начальным ходам доступны младшеклассникам, а вот полное решение обычно требует некоторой математической культуры. Поэтому можно сказать, что это задачи на вырост – ученику полезно встречаться с ними несколько раз на разном уровне строгости и обобщения.

29. Разрезы

На сколько частей можно разбить плоскость n прямыми? Укажите наибольшее и наименьшее число частей. Как надо резать?

30. Раскраски

Сколькими способами можно раскрасить шесть граней одинаковых кубиков шестью красками по одной на грани так, чтобы никакие два из получившихся раскрашенных кубиков не были одинаковыми (не переходили один в другой при каком-то вращении)?

 

31. Сколько всего прямоугольников?

На клетчатой бумаге обведён прямоугольник размером 3*4 клетки. Сколько на этой картинке квадратов? А сколько прямоугольников?  Те же  вопросы для прямоугольника размерами n*m.

 

32. Замок

На рисунке изображён кодовый замок. Компания-производитель утверждает, что он очень надёжен, поскольку существует "несколько тысяч комбинаций". Правда ли это?

Комбинацией является последовательность нажатий. При этом: одновременно можно нажать любое количество кнопок от 0 до 5, кнопки можно нажимать не более одного раза (можно ни разу). Примеры: 

{1, 2, 3}, {4, 5} - сначала нажали вместе 1, 2, 3, потом вместе 4 и 5; 

{4, 5}, {1, 2, 3} - это другая комбинация, потому что порядок поменялся;

{1}, {3},{4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5} (все кнопки сразу)

{1}, {3}, {2}, {5}, {4} (все кнопки по одной)

{} (ничего не нажали; дверь не заперта).

33. Число турниров

В турнире «на кубок» участвуют n команд, и проигравший выбывает, а после n – 1 игры остаётся победитель. Расписание турнира можно записать в виде символа вроде

((a, (b, c)), d)

- b играет с c, победитель с a, победитель с d.

Сколько разных расписаний, если команд 10?