1.3.6. Однородные системы уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

(26)

Однородная система всегда совместна ( ), она имеет нулевое (тривиальное) решение .

Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r<n.

Если число уравнений m системы совпадают с числом неизвестных n, то есть , основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие r<n означает, что определитель основной матрицы системы

Пример 39. Решить систему уравнений

Решение. Составим основную матрицу системы

.

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки.

~ .

Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы , а значит и расширенной матрицы равен 2, то есть

Число неизвестных в системе уравнений равно 3, r<n, поэтому данная система имеет ненулевые решения.

Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся преобразованной матрицей

Из второго уравнения выразим через , при этом будет является свободной переменной: .

Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение и выразим через :

Пусть , тогда общее решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

(27)

Пример 40. Решить систему уравнений

Решение. Выпишем основную матрицу системы

.

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки умноженным на 3:

~ .

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки

~ ~ .

Элементы второй строки умножим на (-2) , элементы третьей строки на 11 и полученные строки сложим

~ ~ ~ .

Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы равен 3, число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, то есть , значит данная система уравнений имеет единственное решение – нулевое, то есть

.

Пример 41. Решить систему уравнений

Решение. Выпишем основную матрицу системы

и найдем ранг этой матрицы.

Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на

(-4) и прибавим к третьей строке:

~ .

Элементы второй строки умножим на и прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки умножим на и прибавим к элементам четвертой строки:

~ .

В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы равен двум, то есть , а число неизвестных в системе уравнений равно 4 ( ). Получили, что , поэтому данная система уравнений имеет ненулевые решения. Укороченная система имеет вид:

Выразим и через и : или

Неизвестные и - базисные, а и - свободные. Полагая , получим общее решение системы, записанное в виде матрицы-столбца (1.27)

(28)

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обозначают . Общее решение будет представлено в виде

(29)

В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и выразим с ее помощью общее решение этой системы.

Из общего решения (28) системы найдем :

, . (30)

С использованием фундаментальной системы (30) общее решение (28) может быть записано в виде (29)