1.2.3. Обратная матрица

Пусть А-квадратная матрица n-го порядка

.

Определение. Матрица

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной к матрице А.

Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находятся так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример 23. Дана матрица

Найти матрицу, присоединенную к матрице А.

Решение. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Составим матрицу , присоединенную к матрице А

.

Определение. Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие

, (14)

где – единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Теорема. Для того, чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы то есть чтобы матрица была невырожденной.

Обратная матрица находится по формуле:

(15)

для матрицы А третьего порядка.

Свойства обратной матрицы:

1.

2.

3.

Пример 24. Найти , если

Решение. Проверим, является ли данная матрица невырожденной. Вычислим определитель, соответствующий матрице :

следовательно, матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица .

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

Составим матрицу по формуле (15)

Проверка:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Пример 25. Показать, что матрица является обратной для , если

Решение. Найдем произведение матриц и :

Следовательно, матрица является обратной для матрицы .

Пример 26. Найти матрицу, обратную для матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы :

Матрица – вырожденная, значит обратная для нее матрица не существует.

Пример 27. Найти матрицу, обратную для данной матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы :

значит матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица .

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

Используя формулу (15), составим матрицу :

.

Проверка:

Значит обратная матрица найдена верно.

1.2.4. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера

.

Выделим в ней k строк и k столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

Обозначают ранг матрицы или .

Пример 28. Найти ранг матрицы:

Решение. Дана матрица размера . Возможный ранг матрицы равен трем, т.к. . Но матрица содержит два нулевых столбца, поэтому все определители третьего порядка, составленные из элементов данной матрицы равны нулю:

, , .

Составим минор второго порядка, например

. Значит,

Ранг матрицы удобно вычислять, используя элементарные преобразования над матрицей. К элементарным относятся следующие преобразования:

1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение. Две матрицы и называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается ~В.