26. Определение дисперсии ошибки системы при случайном воздействии

Стационарный процесс – процесс, в котором статические характеристики не зависят от времени.

Характеристики для такого процесса:

- математическое ожидание

(1) - корреляционный момент

где =x – m_x => x= +m_x

(2) - спектральная плотность

(3)

(4) - дисперсии

(5) R_x (0) = D_x

Из выражения (3) => (6)

Связь между корреляционными функциями на входе и выходе системы.

Пусть x(t)=, т.е. m_x=0 (для простоты), т.е. будем считать, что процесс уже центрированный.

Связь между входом и выходом во временной области:

Подставим эти выражения в выражение (1), получим:

{ […..] – корреляционная функция выходного сигнала}

(7) искомая связь.

Связь между спектральными плотностями

Подставим выражение (7) в (2).

- спектральная плотность выходного сигнала.

Преобразуем:

;

{d (r+ λ - η) = dr}

(8) - искомая связь между спектральными плотностями.

Спектральная плотность сигнала ошибки:

Эти 2 уравнения – определение дисперсии ошибки.

Белый шум – это такой переходный процесс, в котором его корреляционная функция равна дельта функции, а спектральная плотность постоянна во всем диапазоне (в определенном) частот.

Если входной процесс – белый шум, то Sm (w)=c=1, тогда спектральная плотность выходного сигнала численно равна:

Любую спектральную плотность можно представить как плотность формирующую фильтра.

Говорят, что спектральную плотность можно представить в идее 2-ух комплексно-сопряженных сомножителя, т.е.

{

где Все корни H(jw) лежат в верхней полуплоскости}

{……} – табличные выкладки.

27. Определение взаимной корреляционной функции входа и выхода по автокорреляционной функции входного сигнала

m(t) – случайный детерминированный процесс (входной сигнал).

Одна из характеристик:

- корреляционная функция

(1)

- импульсная характеристика

- выходной процесс

q - импульсная переходная функция по помехе

n(t) - взмущение

(2) - связь между входом и выходом во временной области.

- взаимная корреляционная функция (в момент у одного сигнала, в моменту другого сигнала)

в первых квадратных скобках – результат усреднения процесса в 2 момента времени, зависит только от разности этих двух моментов времени

во вторых – результат усреднения в двух разных моментах времени

28. Определение импульсной переходной функции статистическим методом

Определение – описание системы по данным.

Идентификация – описание системы, определяеться описанием передаточной ф-ции линейной системы по данным о вх и вых сигналах.

Синтез – синтезирование системы по каким-либо данным, что система обеспечивает требуемый показатель качества

Анализ- определение вх по вых сигнала и наоборот.

Идентификация : по экспериментальным данным о вх и вых сигналах можно создать такую мат. модель, которая выполняла бы преобразования вх в вых сигнал.

ИМФ – можно представить как реакцию на единичный импульс.

Технологические процессы изучаються в нормальных условиях(реальная эксплуатация), благодаря подачам пробных сигналов.

m- вх, n-помеха, x-вых

1 часть формулы – связь между вх и вых сигналами во временной области

2 часть формулы – воздействие помех

(формула с учетом воздействия помех)

2 часть формулы выражение =0

Если полученный сигнал и помеха не коррелированны, то взаимная коррелированная ф-ия=0

(2)

Интеграл свертки имеет вид

Предположим, что на вх действует белый шум:

Тогда Если на вх действует сигнал близкий к белому шуму то взаимно корреляционная функция между вх и вых близка к импульсно переходной функции.

белый шум – асбтрактное понятие которое часто используеться. Его спектральная плотность не зависит от частоты. Дисперсия белого шума =

Термин красный шум существует для отличия одного б.ш от другого.

Решение уравнения методом прямоугольников:

Заменить непрер. Фу-цию ступенчатой (разбить время на интервалы)

Вместо знач. функции подставить среднее значение (крайнее левое , крайнее правое)

Разобьем весь интервал на несколько подинтервалов. Тогда

Нижний предел можно положить равным нулю в (1). Нужно учесть все возможные значения k(t) (импульсная переходная функция)

Тогда по методу прямоугольников получим :

(2)

(2)=> (3)

после дискретизации уравнение стало линейным.

Подставим n=1:

Корреляционная функция четная можно отбросить отрицательность.

Подставим n=e:

…

Есть N уравнений(линейн), относительно N-неизвестных

Здесь неизвестно значение импульсной переходной функции. Для очевидности запишем её в матричном виде:

Матрица симметрична

Примерно такой же прием может быть применим для детерминированной функции.