8. Інші відомості про нск та нсд

НСД двох чисел a та b це найбільше ціле число d, на яке a та b діляться без остачі. Не важко обчислити, наприклад, НСД(12, 18) = 6. Але що робити, якщо одне з чисел дорівнює 0? А якщо a чи b від’ємне? Над цим питанням на шкільних уроках, напевне, міркував не кожен учень. Для того щоб коректно відповісти на ці питання, наведемо означення найбільшого спільного дільника.

Означення 1. Найбільшим спільним дільником (далі НСД) двох цілих чисел a та b, які одночасно не дорівнюють нулю, називається таке найбільше ціле число d, на яке a та b діляться без остачі. Цей факт позначається так: d = НСД(a, b). Якщо обидва числа дорівнюють нулю, то покладемо НСД(0, 0) = 0.

Виходячи з означення, мають місце наступні співвідношення:

НСД(a, b) = НСД(b, a),

НСД(a, b) = НСД(-a, b)

НСД(a, 0) = |a|

Чому, наприклад, НСД(-12, 18) дорівнює 6, а не -6? Адже ж числа -12 та 18 діляться націло на 6 та на -6. Відповідь є простою: НСД – це найбільший спільний дільник, а число 6 більше за -6.

З поняттям найбільшого спільного дільника тісно пов’язане поняття найменшого спільного кратного.

Означення 2. Найменшим спільним кратним (далі НСК) двох цілих чисел a та b називається найменше додатне ціле число, кратне як a, так і b.

Основна теорема арифметики стверджує, що довільне натуральне число n можна подати у вигляді добутку простих чисел:

n =

Такий розклад натурального числа називається канонічним. З нього випливає, що якщо a = , b = , то

НСД(a, b) = ,

НСК(a, b) =

Приклад 1. Розглянемо числа a = 24 та b = 18. Розкладемо їх на прості множники: 24 = 2³ * 3, 18 = 2 * 3². Отже

НСД(24, 18) = 2^min(3,1) * 3^min(1,2) = 2¹ * 3¹ = 6,

НСК(24, 18) = 2^max(3,1) * 3^max(1,2) = 2³ * 3² = 8 * 9 = 72

Як раз такий метод, базований на використанні канонічного розкладу чисел, ми вивчаємо у школі для знаходження НСД та НСК. Але цей метод не є ефективним для реалізації алгоритмів їх обчислення.

Розглянемо наступний факт. Якщо НСД(a, b) = d, то a та b діляться на d. Отже їх різниця a – b також ділиться на d. Має місце наступне рекурентне співвідношення для обчислення НСД:

НСД(a, b) =

Приклад 2. Нехай a = 32, b = 12. Тоді

НСД(32, 12) = НСД(32 – 12, 12) = НСД(20, 12) = НСД(20 – 12, 12) = НСД(8, 12) =

НСД(8, 12 – 8) = НСД(8, 4) = НСД(8 – 4, 4) = НСД(4, 4) = НСД(4 – 4, 4) = =НСД(0,4) = 4

Наведений метод обчислення також не є оптимальним. Наприклад, для знаходження НСД(1000000, 2) слід виконати 500000 операцій віднімання. Для прискорення обчислення НСД операцію віднімання замінимо операцією взяття залишку від ділення:

НСД(a, b) =

Приклад 3. Нехай a = 78, b = 14. Тоді

НСД(78, 14) = НСД(78 mod 14, 14) = НСД(8, 14) = НСД(8, 14 mod 8) = НСД(8, 6) =

НСД(8 mod 6, 6) = НСД(2, 6) = НСД(2, 6 mod 2) = НСД(2, 0) = 2

Теорема. Між НСД та НСК двох чисел має місце наступне співвідношення:

a * b = НСД(a, b) * НСК(a, b)

Приклади розв’язання задач на подільність

№1. Знайти дільники числа .

Розв’язання. Множники 2, 3, 5, 7 є дільниками числа n. Цей добуток можна записати іншими способами: , , і т.д. Множники 6, 10, 14 також є дільниками числа n. Це означає, що всі добутки, які можна утворити з простих множників 2, 3, 5, 7, також являються дільниками числа n. Отже, дільники числа n – 2; 3; 5; 7; 2 · 3 = 6;

2 · 5 = 10; 2 · 7 = 14; 3 · 5 = 15; 3 · 7 = 21; 5 · 7 = 35;

2 · 3 · 5 = 30; 2 · 3 · 7 = 42; 2 · 5 · 7 = 70; 3 · 5 · 7 = 105; 2·3·5·7 = 210.

№2. Не перемножуючи, встановіть чи ділиться добуток 148·75 на 2, на5, на 10.

Розв’язання.

Оскільки 148 ділиться на 2, то добуток ділиться на 2. Оскільки 75 ділиться на 5, то добуток ділиться на 5. Оскільки 148 ділиться на 2, а 75 ділиться на 5, то 148·75 ділиться на 2·5 = 10.

№3. Доведіть, що натуральні числа записані трьома однаковими цифрами, діляться на 37.

Розв’язання.

Всі трицифрові числа з однаковими цифрами можна подати у виді 111·п. Оскільки 111 ділиться на 37, то й 111·п ділиться на 37.

№4. Скількома нулями закінчується число, яке дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32.

Розв’язання.

Якщо розкласти всі множники цього добутку на прості числа, то в утвореному добутку буде 7 п’ятірок, а двійок більше. Кожен добуток п’ятірки і двійки дає нуль в кінці добутку, отже число закінчується сімома нулями.

№5. До числа 55 зліва і справа приписати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 18. Знайти ці числа.

Розв’язання.

18 ділиться на 2 і на 9, тому й шукане число ділиться на 9 і на 2. Справа можна дописати парні цифри 0, 2, 4, 6 або 8; тоді зліва можна дописати відповідно 18 – (5 + 5 + 0) = 8, 18 – (5 + 5 + 2) = 6, 18 – (5 + 5 + 4) = 4, 18 – (5 + 5 + + 6) = 2 або 18 – (5 + 5 + 8) = 0. Останній випадок не задовольняє умову задачі, оскільки тоді число стає трицифровим. Отже, 8550, 6552, 4554, 2556 – шукані числа.

№6. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 90, а дві перші цифри в них дорівнюють 57?

Розв’язання.

Оскільки числа діляться на 90, то вони діляться на 10 і на 9. Це означає, що остання цифра дорівнює 0, а сума цифр ділиться на 9. Так як 18 – (5+7) = 6 і 27 – (5+7) = 15, то сума третьої й четвертої цифр дорівнюють 6 або 15. Можливі такі варіанти: 0 і 6, 1 і 5 і т. д. до 6 і 0 або 6 і 9, 7 і 8, 8 і 7, 9 і 6 – всього 7 + 4 = 11 випадків. Відповідь: 11 чисел.

№7. Зустрілися дві жінки. Одна похвалилася, що в неї є три сини.

– Скільки їм років? – спитала друга жінка.

– Якщо перемножити їх вік, то вийде 36, а якщо додати – то вийде номер твоєї квартири, – відповіла перша.

Подумавши, друга жінка сказала, що їй не вистачає інформації. Тоді перша сказала:

– У мого старшенького руде волосся.

– Тепер я знаю вік твоїх синів, – вигукнула друга жінка.

Визначте і ви вік кожного хлопчика.

Розв’язання.

Вік кожного хлопчика є дільником числа 36. Це числа 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1. Розглянемо можливі розклади числа 36 на три множники: 36·1·1 = 18·2·1 = 12·3·1 = 9·4·1 = 9·2·2 = 6·6·1 = 6·3·2 = 4·3·3. Суми цих множників відповідно дорівнюють 36+1+1 = 38, 18+2+1 = 21, 12+3+1 = 16, 9+4+1 = 14, 9+2+2 = 13, 6+6+1 = 13, 6+3+2 = 11, 4+3+3 = 10. Якби номер квартири другої жінки був 38, 21, 16, 14, 11, чи 10, то вона визначила б вік хлопців без додаткової інформації. Оскільки їй спочатку не вистачило інформації, то номер її квартири 13 і вона має два випадки – 9, 2, 2 або 6, 6, 1. Фраза «У старшенького руде волосся» означає, що два старші сини мають різний вік. Цим самим виключається випадок 6, 6, і 1 рік. Отже, старшому було 9 років, двом іншим по 2 роки. До речі, в ході розв’язання ми змогли, навіть, визначити номер квартири другої жінки.

№8. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6 дає в остачі числа 1, 2, 3, 4 і 5 відповідно.

Розв’язання.

Якщо це число збільшити на одиницю, то воно буде ділитися на числа 2, 3, 4, 5 і 6 без остачі. Це число є найменшим спільним кратним чисел 2, 3, 4, 5 і 6. НСК(2, 3, 4, 5, 6) = 60. Отже, шукане число дорівнює 60 – 1 = 59.

№9. Довести, що з будь-яких чотирьох натуральних чисел знайдуться два, різниця яких являється кратним числу 3.

Розв’язання.

При діленні натуральних чисел на 3 в остачі може бути 0, 1 або 2. Всі натуральні числа розподілимо в три групи за остачею при діленні на 3. Серед чотирьох довільних натуральних чисел принаймні два потраплять в одну групу – значить вони дають однакову остачу.

№10. Довести, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на 8.

Розв’язання.

З двох послідовних парних чисел одне ділиться на 4, а інше на 2, тому їх добуток ділиться на 8.

№ 11. Скільки мається чотиризначних чисел, які діляться на 55 , а дві середні цифри у них 3 і 2 ?

Розв’язання.Шукане число ділиться на 5 і на 11 . Запишемо число у вигляді abed. Так як число ділиться на 5 , то d = 0 або d = 5 . Так як число ділиться на 11 , то (а+с) - (b+d) кратно 11 . Розглянемо всі випадки :

1 ) d = 0 , b = 3 , с = 2 . Тоді а - 1 кратно 11 . Якщо а - 1 = 0 , а = 1 . Якщо а - 1 = 11 , а = 12 ( не підходить ) . Отже , шукане число 1320 .

2 ) d = 0 , b = 2 , с = 3 . Тоді а + 1 кратно 11 . Якщо а + 1 = 0 , а = -1 (не підходить) . Якщо а + 1 = 11 , а = 10 ( не підходить ) .

3 ) d = 5 , b = 3 , с = 2 . Тоді а - 6 кратно 11 . Якщо а - 6 = 0 , а = 6 . Якщо а - 6 = 11 , а = 17 ( не підходить ) . Отже , шукане число 6325 .

4 ) d = 5 , b = 2 , с = 3 . Тоді а - 4 кратно 11 . Якщо а - 4 = 0 , а = 4 . Якщо а - 4 = 11 , а = 15 ( не підходить ) . Отже , шукане число 4235 .

Відповідь : три числа: 1320 . 6325 . 4235 .