3.2. Расчет числа измерений, которые необходимо произвести

для оценивания математического ожидания диаметра катанки

с точностью 0.1 мм и среднеквадратического отклонения

с точностью 50 %

В процессе интервального оценивания числовых параметров распределения определялись ширина и местоположение доверительного интервала, накрывающего оцениваемый параметр с заданной доверительной вероятностью (см. п. 3.1.2). При этом ширина доверительного интервала L определялась как функция от объема имеющейся выборки N и доверительной вероятности Р: L = L(N,P).

Может быть решена и обратная задача – задача определения объема выборки N, которую необходимо получить в процессе проведения эксперимента для того, чтобы с заданной доверительной вероятностью Р можно было построить доверительный интервал заданной ширины L. Для решения этой задачи необходимо преобразовать расчетные выражения для интервальных оценок к виду, пригодному для расчета N: N = N(L,P).

3.2.1. Необходимое число измерений для оценки математического

ожидания с точностью 0.1 мм

Для определения необходимого числа измерений используем выражения, применяемые для расчета интервальной оценки математического ожидания:

а) для старой технологии известно генеральное среднеквадратическое отклонение, поэтому для расчета необходимого количества измерений N можно воспользоваться выражением (2.19). После несложных преобразований можно получить следующее уравнение: .

Подставив L=20.1=0.2 мм, _с=0.18 мм и значение квантили нормированного нормального закона распределения из табл. П.2 z_(1-/2)=z_0.975=1.96, получим измерений;

б) для новой технологии известно только выборочное среднеквадратическое отклонение, поэтому для расчета необходимого количества измерений следует воспользоваться выражением, полученным из уравнения для соответствующего случая расчета интервальной оценки математического ожидания (2.20) .

Подставив L=20.1=0.2 мм и s=0.19 мм, получим

. (3.1)

Поскольку значения квантилей распределения Стьюдента (табл. П.6) зависят от количества измерений, то решить это уравнение в явном виде нельзя. Наиболее просто решение может быть получено численным методом, в данном случае – методом последовательного приближения.

Процедура расчета следующая: 1) принимаем некоторое исходное значение объема выборки N; 2) определяем по табл. П.6 значение квантили ; 3) по выражению (3.1) рассчитываем объем выборки N'. Если N и N' совпали, то расчет заканчиваем, если нет, то принимаем N' за N и повторяем процедуру.

Примем в качестве начального приближения N=11 измерений (выбрано произвольно). Будем округлять результаты вычислений до ближайшего целого в большую сторону:

при N=11 t_,N-1=2.228, N’=3.622.228²18;

при N=18 t_,N-1=2.110, N’17;

при N=17 t_,N-1=2.120, N’17.

Поскольку принятое значение N=17 и рассчитанное N’ совпали, то расчет закончен.

3.2.2. Необходимое число измерений для оценки среднеквадратического

отклонения с точностью 50 %

Под точностью оценки среднеквадратического отклонения 50 % (0.5 – в долях от единицы) понимается величина относительной точности , где L – ширина доверительного интервала.

Определение необходимого числа измерений может быть произведено с помощью неравенства , полученного из интервальной оценки для генеральной дисперсии (2.21). Поскольку в это выражение не входят числовые характеристики распределения конкретной случайной величины, то для достижения одинаковой точности оценки  в обоих случаях (и для новой и для старой технологий) потребуется проделать одинаковое число опытов, которое можно определить из неравенства .

Решение этого неравенства также может быть произведено численным методом – методом подбора, с использованием таблиц квантилей распределения Пирсона (табл. П.3), как это показано в табл. 3.3. Процедура расчета следующая: 1) выбираем некоторое значение объема выборки N; 2) по табл. П.3 определяем значения квантилей и ; 3) рассчитываем их отношение и сравниваем результат со значением . Если значение отношения квантилей оказалось больше чем 2.25, то принимаем новое, большее значение N. При этом, из соображений экономии затрат на проведение эксперимента, следует подобрать минимально допустимое число измерений N.

Таблица 3.3

Расчет необходимого числа измерений для оценки стандартного

отклонения с точностью 0.5

Число измерений
5	11.14	0.48	23.00
10	19.02	2.70	7.04
20	32.85	8.91	3.69
30	45.72	16.05	2.85
40	58.12	23.65	2.46
50	70.22	31.55	2.23
45	64.20	27.57	2.33
46	65.41	28.37	2.31
47	66.62	29.16	2.28
48	67.82	29.96	2.26
49	69.02	30.75	2.24

Вывод: Для того чтобы оценить математическое ожидание диаметра катанки с точностью 0.1 мм, необходимо произвести 13 измерений для старой технологии и 17 измерений для новой. Для нахождения оценки стандартного отклонения диаметра с точностью 0.5 необходимо произвести 49 измерений.