3.3.3. Проверка гипотез о числовых

значениях математических ожиданий

Часто для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ), при выявлении преимущества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д. возникает необходимость по выборочным средним значениям исследуемых величин делать вывод о соответствующих генеральных значениях – математических ожиданиях. При этом может возникнуть задача сравнения математического ожидания с конкретным числовым значением (например с известным математическим ожиданием) и задача сравнения двух математических ожиданий по двум выборочным средним.

3.3.3.1. Сравнение математического ожидания случайной величины с известным значением

Эта задача может возникнуть в двух равноценных вариантах. 1) Когда необходимо сделать обоснованное заключение о равенстве или неравенстве математического ожидания случайной величины конкретному числовому значению (например, ). 2) Когда накоплен значительный объем экспериментальных данных, который позволил определить математическое ожидание  (например, ) и дисперсию ² интересующей характеристики, но после внесения некоторых изменений в условия получения экспериментальных данных получена новая выборка, по которой определены значения выборочного среднего и дисперсии s² несколько отличающиеся от генеральных. Возникает необходимость установить значимо ли влияние условий получения экспериментальных данных на значения интересующей величины, т.е. имеется ли значимое различие между выборочным значением и генеральным математическим ожиданием  Оба эти варинта постановки задачи решаются одинаково.

Возможны два несколько отличающихся случая: А) генеральная дисперсия ² известна; Б) генеральная дисперсия ² неизвестна, но известна ее оценка s².

А) Рассмотрим случай когда генеральная дисперсия ² известна.

Примем в качестве нулевой гипотезы предположение о том, что математическое ожидание ₁ интересующего нас свойства после изменения условий получения опытных данных равно математическому ожиданию  соответствующего свойства до внесения изменений (или равно конкретной величине , т.е.

1. Н₀: ₁= .

2. Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах

а) Н_А: ₁> ; б) Н_А: ₁<  ; в) Н_А: ₁¹  .

3. Используется z-критерий

4. z - статистика имеет вид

, (3.11)

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей нормированного нормального распределения (распределения Лапласа) (табл. П2) для выбранного уровня значимости a.

6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают что ₁=  при выполнении неравенств:

а) при альтернативной гипотезе Н_А: ₁>  ;

б) при альтернативной гипотезе Н_А: ₁<  ;

в) при альтернативной гипотезе Н_А: ₁¹  .

Б) Генеральная дисперсия ² неизвестна, но известна ее оценка s².

В этом случае вместо генеральной дисперсии ² использую выборочную дисперсию s². Ход рассуждений здесь аналогичен приведенному выше в п. А), но в качестве критерия следует использовать t-критерий. Кроме того, обобщим случаи альтернативных гипотез а) и б) из п. А), используя абсолютные значения отклонений и учитывая симметричный характер t-распределения.

1. Н₀: ₁= .

2. Два варианта альтернативной гипотезы

а) Н_А: ₁>  или Н_А: ₁<  ; в) Н_А: ₁¹  .

3. Используют t-критерий.

4. t - статистика имеет вид , (3.12)

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей t-распределения (распределения Стьюдента) (табл. П6) для выбранного уровня значимости a и числа степеней свободы =N-1.

6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают что ₁= при выполнении неравенств:

а) при альтернативной гипотезе Н_А: ₁>  или ₁<  ;

в) при альтернативной гипотезе Н_А: ₁¹  .