Следствия из теоремы Кронекера-Капелли
Если ранг r совместной системы (5) равен числу неизвестных n, т.е.
,
то система (5) имеет единственное решение
(является определенной).Если ранг r совместной системы (5) меньше числа неизвестных n, т.е.
,
то система (5) имеет бесчисленное
множество решений (является неопределенной).
Правило решения произвольной системы линейных уравнений
Найти ранги основной и расширенной матриц системы, т.е.
.
Если
,
то система несовместна. Если
,
то система совместна, и необходимо
найти какой-либо базисный минор
порядка r (т.е. отличный от нуля минор,
порядок которого равен рангу системы).
Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными (базисными), и оставляют слева, а остальные
неизвестных называют свободными
и переносят в правые части уравнений.
По формулам Крамера найти выражения главных неизвестных через свободные. Полученные равенства являются общим решением системы.
Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, получают соответствующие значения главных неизвестных. Т.о. можно найти частные решения исходной системы.
Пример 5. Решить
систему
.
Решение
1. Исследуем систему на совместность:
~
~
~
~
~
Þ
= 3 = n Þ
Вывод: СЛУ совместна и определена (имеет единственное решение).
2. Выберем первые три уравнения, из коэффициентов которых составим базисный минор:
Þ
- базисный минор.
3. Найдем решение по формулам Крамера:
,
,
.
Отсюда получим
,
,
.
Ответ: (1, 2, 1).
Пример 6. Решить
систему
.
Решение
1. Исследуем систему на совместность:
~
~
~
~
~
.
Вывод: Так как = 2 < n = 4, то СЛУ совместна и неопределенна (имеет множество решений).
2. Берем первые два уравнения системы:
Þ
- базисный минор.
,
- число главных неизвестных,
- число свободных неизвестных.
В базисный минор
вошли коэффициенты при неизвестные
и
.
Таким образом,
и
- главные неизвестные, а
и
- свободные неизвестные:
.
3. Найдем общее решение по формулам Крамера:
,
.
Отсюда получим
,
.
Общее решение:
(
,
,
,
).
4. Найдем частное решение при = 0 и = 1.
Тогда
,
.
Частное решение: (-1, 1, 0, 1).
Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения СЛУ является метод Жордана-Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Вопрос 5. Метод Жордана – Гаусса.
Пусть дана произвольная СЛУ (5): .
Рассмотрим расширенную матрицу системы (1): .
Используя
элементарные преобразования матриц,
выполняемые над строками, приведем
матрицу
к специальному виду. При этом если в
процессе преобразования появляются
нулевые строки, то их отбрасывают.
Будем считать, что
элемент
(если
,
то можно начать с другого коэффициента,
поменяв местами строки).
Разделив первую
строку матрицы
на
,
получим матрицу вида
.
Для получения
нулей в первом столбце (исключение
неизвестного
из всех уравнений системы, кроме первого),
умножим 1-ую строку на числа
,
,
…,
и прибавим полученные строки соответственно
ко 2-й, 3-й, …, m-й строкам матрицы. В
результате получим равносильную матрицу
,
где
и
- новые элементы матрицы.
Разделив теперь
элементы второй строки на
и произведя аналогичные преобразования
(исключение неизвестного
из всех уравнений системы, кроме второго),
получим равносильную матрицу вида
.
Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, получим равносильную матрицу вида
.
(6)
Если r = n, то матрица (6) имеет вид
.
В этом случае
СЛУ (1) имеет единственное решение
.
Если r < n, то СЛУ (5) имеет множество решений, причем неизвестные
являются главными, а неизвестные
- свободными. В этом случае общее решение
системы (5) имеет вид
.
Если в результате преобразований матрицы в одной из строк получаются все нули, кроме последнего элемента, то СЛУ (5) несовместна (решений не имеет).
Пример 7. Решить систему .
Решение
~
~
~
~
~
~
~
Þ
.
Ответ: (1, 2, 1).
Пример 8. Решить систему .
Решение
~ ~ ~
~
~
~
~
~
Þ
Пусть и - главные неизвестные, а и - свободные неизвестные. Тогда
Þ
;
Þ
.
Общее решение: ( , , , ).
Пример 9. Решить
систему
.
Решение
~
~
Вывод: система несовместна.
