Вопрос 2. Матричный метод решения систем

Рассмотрим методы решения квадратных СЛУ.

Пусть дана СЛУ (1). Введем матрицы:

- матрица коэффициентов системы (основная матрицы);

- столбец неизвестных; - столбец свободных членов.

Тогда СЛУ (1) можно записать в матричной форме:

АХ = В. (2)

Основная матрица системы (1), т.е. матрица А, является квадратной матрицей n-го порядка.

Пусть , тогда существует обратная матрица . Умножим обе части матричного равенства (2) на :

, , .

Отсюда получим решение матричного уравнения (2):

. (3)

Отыскание решения системы (1) по формуле (3) называется матричным методом решения системы.

Формула (3) дает единственное решение системы (1) в случае невырожденности матрицы А, т.е. при .

Замечание.

Если основная матрица А системы (1) вырожденна, т.е. , то обратная матрица не существует и данную систему матричным методом решить нельзя.

Пример 1. Решить СЛУ матричным методом:

Решение

1.  СЛУ совместна и определена.

2.

=

Ответ: (1, 1, 1)

Вопрос 3. Теорема Крамера

Решение СЛУ (1) удобно записывать и вычислять с помощью определителей. Имеет место теорема:

Т.3.1. (Теорема Крамера)

Если определитель системы (1) n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система (1) совместна и имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, (4)

где - определитель основной матрицы СЛУ (1); - определитель, полученный из заменой i-го столбца столбцом свободных членов ( ).

Формулы (4) называются формулами Крамера.

Замечание.

Если основная матрица А системы (1) вырожденна, т.е. , то возможны два случая:

1. хотя бы один из определителей . В этом случае СЛУ (1)несовместна.

2. все определители . В этом случае о совместности СЛУ (1) ничего нельзя сказать.

Пример 2.

1.  , - СЛУ несовместна.

2.  - СЛУ имеет множество решений.

3.  - СЛУ несовместна.

Замечание.

Матричный метод и теорема Крамера могут быть использованы для решения только квадратных СЛУ, у которых число уравнений равно числу неизвестных.

Пример 3. Решить систему из примера 1 по правилу Крамера.

Решение

1. .

2. ; ; .

3. , , .

Ответ: (1, 1, 1)

Существенным недостатком решения СЛУ по формулам Крамера и матричным методом является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратных матриц. Поэтому эти методы представляют больше теоретический интерес.

Вопрос 4 . Понятие системы m линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

. (5)

Системе (5) можно сопоставить две матрицы:

А = - основная матрица системы (5);

- расширенная матрица системы (5).

Матрица А состоит из коэффициентов при неизвестных, а матрица дополнена ещё столбцом свободных членов.

Эти матрицы играют важную роль в вопросе разрешимости СЛУ. Исчерпывающий ответ на вопрос о разрешимости СЛУ (5) дает теорема Кронекера-Капелли.

Т.4.1. (теорема Кронекера – Капелли, критерий совместности СЛУ)

Система линейных уравнений (5)совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, т. е.

Пример 4. Исследовать на совместность систему .

Решение

~ Þ Þ Þ система несовместна.

О.4.1. Рангом совместной СЛУ называется ранг ее матрицы.

Правила практического разыскания всех решений совместной СЛУ вытекают из следующих теорем.