4.Методы описания движения газа и жидкости

Характеризовать течение жидкости, т.е. выразить его математически, можно либо методом Эйлера, либо методом Лагранжа. Первый является более распространенным.

Сущность метода Эйлера состоит в том, что проекции скорости частиц жидкости выражаются функцией четырех независимых переменных x, y, z и .

Если представить частицу жидкости исчезающее малого объема, то можно говорить, что она находится в той или иной точке пространства и с течением времени проходит непрерывный ряд точек, совокупность которых называется траекторией данной частицы жидкости.

В каждой точке пространства можно провести вектор, изображающий собой скорость частиц жидкости в данный момент времени. Если бы эти векторы были определены для каждой точки пространства, занятого жидкостью, то было бы получено наглядное представление о характере течения жидкости в данный момент времени (рис.4.1).

Рис. 4.1. Поле скорости при τ = const

Так как в данный момент времени скорость движения частиц зависит от положения частиц в пространстве, то можно написать:

для данного момента времени.

В любой точке пространства скорость может изменяться во времени. Следовательно, в самой общей форме можно записать:

Чтобы характеризовать то или иное течение жидкости, нужно найти вид этих трех функций . Задача эта очень сложная.

Состояние движущейся жидкости характеризуется не только скоростью каждой частицы жидкости, но и другими физическими величинами и т.д. Поэтому при изучении движения жидкости необходимо выяснить взаимную связь этих физических величин для различных точек пространства.

Траектории отдельных малых частиц жидкости являются очень сложными кривыми. При криволинейном движении всегда возникают ускорения.

Проекции ускорения на координатные оси выражаются в виде:

Пусть частица жидкости в момент времени находилась в точке с координатами х, у, z и имела проекции скорости По прошествии бесконечно малого промежутка времени эта частица переместится и займет новое положение с координатами Значение времени стало иным . Изменились и проекции скорости

Пользуясь методом Эйлера можно написать:

Приращение скорости частицы жидкости вдоль какой–либо оси, например, оси х за время выразится как разность значений проекций скорости:

Правая часть равенства представляет полный дифференциал и выражается суммой частных дифференциалов.

Ограничиваясь бесконечно малыми величинами первого порядка запишем:

Полную производную по времени от некоторой функции f, которая зависит от четырех переменных –причем первые три переменные в свою очередь зависят от , называют субстанциональной производной.

5.Установившееся движение газа и жидкости

Установлено, что скорость частицы жидкости в общем случае зависит от четырех переменных величин: от трех координат пространства и от времени.

К числу сильно упрощающих ограничений принадлежит условие стационарности движения.

Представим себе, что скорость частиц жидкости, проходящих через данную точку пространства, не будет меняться, т.е. зависеть от времени. В этом случае говорят, что движение жидкости в данной точке пространства установилось.

Если окажется, что в любой точке пространства, занятого жидкостью, скорость не будет меняться с течением времени, то такое движение называют установившимся или стационарным.

Строго говоря, под установившимся подразумевают такое движение, при котором не только скорость, но и все другие физические характеристики жидкости ( ) не зависят от времени и остаются постоянными для каждой точки пространства.

Математически нужно выразить мысль, что и другие величины не изменяются по времени, если только мы их рассматриваем в одной и той же точке пространства.

С помощью частных производных можно записать:

Эти равенства, с одной стороны, означают, что проекции скорости

не зависят от времени (т.е. не изменяются), так как производные по времени равны нулю. С другой стороны это указывает на то, что при дифференцировании координаты х, у, z оставались постоянными, т.е. мы наблюдаем за одной и той же точкой пространства.

Часто ошибочно думают, что для характеристики установившегося движения достаточно написать производную от полной скорости, т.е. . Однако это условие означает только то, что численная величина скорости неизменна, но направление ее может меняться.