Теориялық сұрақтар

1. Екiншi және үшiншi реттi анықтауыштар.

2. Алмастырулар мен ауыстырулар.

3. Инверсия‚ транспозиция.

4. n-шi реттi анықтауыштың анықтамасы.

5. Анықтауыштың қасиеттерi.

6. Минор және толықтауыш минор‚ алгебралық толықтауыш.

7. Матрица және оның түрлерi.

8. Матрицаларға амалдар қолдану. Қасиеттерi.

9. Керi матрица және оның жалғыздығы.

10. n - өлшемдi векторлық кеңiстiктiң анықтамасы.

11. Векторлардың сызықты тәуелсiздiгi. Матрицаның рангi және оны

есептеу әдiстерi.

12. Сызықты теңдеулер жүйесi. Кронекер-Капелли теоремасы.

13. Сызықты теңдеулер жүйесiн шешудiң әдiстерi. Крамер ережесi.

14. Гаусс әдiсi.

15. Сызықты теңдеулер жүйесiн матрицалық есептеулер арқылы шешу.

16. Бiртектi сызықты теңдеулер жүйесi.

17. Бiртектi сызықты теңдеулер жүйесiнiң жалпы және iргелi шешiмдерi.

18. Бiртектi және бiртектi емес сызықты теңдеулер жүйесi шешiмдерiнiң

арасындағы байланыс.

19. Сызықты кеңістіктің анықтамасы. Сызықты кеңістіктің базисі мен

өлшемі.

20. Сызықты операторлар алгебрасы. Сызықты операторлар мен

матрицалардың изоморфтылығы. Сызықты операторлардың канондық

21. түрлері

22. Сызықтық және квадраттық формалар. Жазықтықтағы екінші ретті

сызықтар. Екінші ретті беттер.

23. Евклид кеңістігінің анықтамасы және қасиеттері. Ортогональдау

процесі. Евклидтік кеңістіктің ортонормальданған базисі.

24. Матрица мен түрлендіру арасындағы байланыс. Базистен базиске көшу

матрицасы және оны табу.

ТАПСЫРМАЛАРДЫ ОРЫНДАУҒА ӘДIСТЕМЕЛIК НҰСҚАУЛАР

1-ТАПСЫРМА. анықтауышын есептеңдер.

а) қатарының немесе бағанының элементтерi бойынша жiктеу арқылы;

ә) алдын-ала қатарының немесе бағанының элементтерiн нольге айналдыру арқылы;

б) анықтауышты үшбұрышты түрге келтiру арқылы.

Шешуi. а) Бұл анықтауышты нольдi көптеу қамтитын қатары немесе бағаны бойынша жiктеген тиiмдi. Өйткенi‚ жiктелгеннен кейiнгi есептелетiн үшiншi реттi анықтауыштың саны аздау болады. Бұл анықтаушты 1-шi немесе 3-шi қатары (1-шi немесе 2-шi бағаны) бойынша жiктеген тиiмдi. Олай болса‚ 1-шi қатары бойынша жiктейiк.

5(18+24+8-48+6+12)+

+(4-18-24+8)+2(2+27+18-12)=5*20-30+2*35=100-30+70=140.

Жауабы: =140.

ә) Анықтауыштың қасиеттерi бойынша берiлген анықтауыштың қатарының немесе бағанының бiр элементiнен басқасын алдын-ала нольге айналдырып алуға болады. Оны осы нольге айналдырылған қатары (бағаны) бойынша жiктесек‚ төртiншi реттi анықтауыш бiр ғана үшiншi реттi анықтауышты есептеуге келтiрiледi.

анықтауышының үшiншi бағанының элементтерiн –5-ке

көбейтiп бiрiншi бағанның сәйкес элементтерiне қосып және үшiншi бағанының элементтерiн 2-ге көбейтiп төртiншi бағанның сәйкес элементтерiне қосып мына түрдегi анықтауышты аламыз.

128-24+120-8+180-256=140

б) Ендi осы берiлген анықтауышты үшбұрышты түрге келтiру арқылы

есептейiк.

Жауабы: 140

2-ТАПСЫРМА. А және В матрицалары берiлген. Табу керек:

_{а)АВ в)ВА} ә) б)

А= В=

Шешуi: АВ есептейiк. Ол үшiн‚ А матрицасының қатарының элементтерiн В матрицасының қатарының сәйкес элементтерiне көбейтiп қосамыз. Сонда‚ мынадай С матрицасын аламыз.

ә) Ендi В матрицасын А матрицасына көбейтейiк.

б) А матрицасының керi матрицасын табайық. Ол мына формуламен табылады.

А =

Мұндағы : i=1,2‚3 ; j =1,2‚3 А матрицасының сәйкес элементтерiнiң алгебралық толықтауыштары, берiлген А матрицасының анықтауышы. Егер болса, онда А матрицасы ерекше емес матрица болады және оның керi матрицасы әруақытта бар және жалғыз болады.

Ендi матрица элементтерiнiң алгебралық толықтауыштарын есептейiк.

Олай болса iзделiндi керi матрица мынадай болады.

в) көбейтiндiсiн есептейiк.

3-ТАПСЫРМА.Ауыстырудың инверсиялар санын анықтаңдар.

Шешуi: Оны мынадай екi тәсiлмен анықтауға болады.

а) Берiлген алмастырудағы элементтердiң орналасу тәртiбi бойынша екi-екiден алмастыруларды құрамыз. Әр алмастырудағы инверсияны анықтаймыз. Барлық инверсияны қосып инверсия санын анықтаймыз. Яғни,

35, инверсия саны 2-ге тең,

инверсия саны 3-ке тең

инверсия саны 0-ге тең

инверсия саны 3-ке тең

инверсия саны 0-ге тең

инверсия саны 2-ге тең

инверсия саны 0-ге тең

69 - инверсия саны 0-ге тең.

Сонымен,берiлген 351728469 алмастырудың инверсия саны

ә) Берiлген алмастырудың инверсия санын басқа әдiспен анықтайық. Алдымен, берiлген есеп алмастырудағы ең кiшi сан 1-дi сызайық: 351728469. Сызылған 1-дiң алдында 2 сан бар, олар 3,5, яғни инверсия саны 2-ге тең. Ендi қалған сандардың ең кiшiсi 2 нi сызамыз ,т.с.с. жалғастырсақ мынаны аламыз:

351728469--- 2 инверсия құрайды .

351728469--- 3 инверсия құрайды.

351728469--- инверсия құрамайды.

351728469--- 3 инверсия құрайды.

351728469--- инверсия құрамайды.

351728469--- 2инверсия құрайады.

351728469--- инверсия құрамайды.

351728469--- инверсия құрамайды.

351728469--- инверсия құрамайды.

Сонымен

.

Яғни, берілген сандағы инверсиялар саны 10.

4-ТАПСЫРМА. Анықтауышты есептеңiз және элементiнiң жалпы түрiн анықтаңыз.

Шешуi: Үшбұрыш түрдегi анықтауыштың мәнi оның бас диагналi элементтерiнiң көбейтiндiсiне тең болады, яғни . Ал ендi анықтауыш элементтерiнiң жалпы түрiн анықтайық. Мүндағы‚ әр қатардың бас диагональге дейiнгi элементтерi сол қатар санын екiге еселегенге, ал бас диагональдан кейiнгi элементтерi нөлге тең. Ал бас диагональге енетiн элементтер үшiн элементiндегi i=j болатындығын ескерсек, сонда элементiнiң жалпы түрi мынадай болады: .

5-ТАПСЫРМА.

А= матрицасының рангiн есептеңдер.

а) Жиектеушi минорлар әдiсiмен;

ә) Элементар түрлендiру арқылы;

Шешуi. а) Матрицаның нольден өзгеше екiншi реттi минорын анықтаймыз.

М₁₂₁₂= =8+3=11 0

Ендi осы екiншi реттi минорды жиектеушi үшiншi реттi минорлардың нольден өзгешесiн табамыз (егерде‚ бар болса).

М₁₂₃₁₂₃= =16-2-6-16+2+6=0

М₁₂₃₁₂₄= =0 өйткенi 1-шi және 3-шi қатарлары бiрдей.

М₁₂₄₁₂₃= =24-1+12-8-4+9=32 0

Ендi осы үшiншi реттi минорды жиектеушi төртiншi реттi минорды есептейiк.

=0 Өйткенi бұл минордың бiрiншi және үшiншi қатарлары

бiрдей. Олай болса, бұл матрицаның нольден өзгеше минорларының ең жоғарғы ретi үшiншi реттi минор болғандықтан r (A)=3.

ә) Ендi А матрицасының рангiн элементар түрлендiру арқылы анықтаймыз.

~

~ ~ ~

Берiлген анықтауышты элементар түрлендiре отырып трапеция түрге келтiрдiк. Демек, матрицаның төртiншi қатары басқа қатарларының сызықтық комбинациясы екендiгiн көремiз. Олай болса r (A)=3.

6-ТАПСЫРМА.

Теңдеулер жүйесiн Крамер, Гаусс және матрицалық есептеу ережелерiн қолданып шешiңдер.

Шешуi. 1) Крамер ережесiн пайдаланып шағарайық.

= =12-2+10-1-12+20=27

_x= = -44-32+16-16+44+32=0

_y= = 96-22+80-8+220-96=270

_z= = 48-8-110+11+80-48=-27

Олай болса‚ Крамер формуласы бойынша

x= , y= , z=

Тексеру: Жүйенiң бiрiншi теңдеуiне қойсақ теңдеудi қанағаттандыратынын көремiз. Яғни,

3 0 –10 –1= -11 , -11= -11.

Демек, жауабы (0, 10, -1)болады.

2)Жүйенi Гаусс әдiсiн пайдаланып шығарайық. Ол үшiн берiлген жүйенi кеңейтiлген матрица түрiнде жазып алып, оны элементар түрлендiре отырып үшбұрышты түрге келтiремiз.

-2

-4

-2

~ ~

Ендi матрицалық формадан жүйеге көшемiз. Сонда

жүйесiн аламыз. Одан 9x=0 x=0 шығады. Оны

екiншi теңдеуге қойып 3y=30 немесе y=10 аламыз. Осы нәтижелердi бiрiншi теңдеуге қойып -10+z= -11 немесе z= -11+10

одан z=-1 шешiмiн аламыз. Жауабы (0 , 10, -1).

3) Ендi осы берiлген сызықтық теңдеулер жүйесiн матрицалық есептеулер арқылы шешейiк. Жүйенi матрицалық формада жазсақ мына түрге келедi: АХ=B (1) Мұндағы

A= , X= , B= матрицалары.

Бұл матрицалық теңдеу X=A^-1B (2) түрiнде шешiледi. Демек А^-1 керi матрицаны табамыз. екендiгi белгiлi. Ендi А матрицасының элементтерiнiң алгебралық толықтауыштарын табамыз.

А11=(-1)1+1 ,		А21=(-1)2+1 ,
А12=(-1)1+2 ,		А22=(-1)2+2 ,
А13=(-1)1+3 ,		А23=(-1)2+3 ,
A31=(-1)3+1 ,		A32=(-1)3+2
A33=(-1)3+3 .

Олай болса А^-1= аламыз.Оны (2) теңдеуге қойсақ

7-ТАПСЫРМА. Бiртектi сызықты теңдеулер жүйесiн шешiп, оның жалпы және iргелi шешiмдерiн табыңдар.

Шешуi. Жүйенiң матрицасын құрамыз. Оны түрлендiрiп

~ ~ матрицаны аламыз.

Матрицадан жүйеге көшсек

Одан жүйенiң жалпы шешiмiн аламыз. Яғни, z=t деп алсақ, жалпы шешiмi (-2t, t, t) болады. Мұндағы n=3 (белгiсiздер саны),

r=2 (тәуелсiз теңдеулер саны) болғандықтан жүйенiң iргелi шешiмiнiң саны n-r=1 болады. z=1 деп алып (-2, 1, 1) жүйенiң iргелi шешiмiн табамыз.

8-ТАПСЫРМА. Берiлген векторлар жүйесiн ортогоналдаңдар

(3,2,1), (1,0,2)

Шешуi. Егер Евклид R кеңiстiгiндегi сызықты тәуелсiз векторлар жүйесi болса, онда оған сызықты тәуелдi ..,l_k ортогоналды векторлар жүйесi мына төмендегi

(1)

формулалармен өрнектеледi, мұндағы

(2)

Онда (1) формула бойынша , ал формуласымен табылады. Мұндағы

Сонда

Сонда ізделінді ортогоналданған жүйе ,

9-ТАПСЫРМА. S базисiнен S^/ базисiне көшу матрицасын тап.

S=((1,3,2,), (2,2,-1),(-3,-4,0)),

S^/= ((1,10,10), (-3,2,7), (0,7,8))

Шешуi. түрлендіруінің S базисіндегі матрица болсын, түрлендіруінің S^/ базисіндегі матрицасын табайық.

R сызықты кеңiстiгiнiң

I: ℓ₁,ℓ₂,…,ℓ_n, ℓ_iR, i1, 2, …, n;

II: ℓ₁^/,ℓ₂^/,…,ℓ_n^/, ℓ_i^/R, i1, 2, …, n базистерiн қарастырайық. II-базистiң кез келген элементiн I-базис бойынша жiктейiк:

ℓ₁^/=а₁₁ℓ₁+а₁₂ℓ₂+…+а_1nℓ_n

ℓ₂^/=а₂₁ℓ₁+а₂₂ℓ₂+…+а_2nℓ_n

------------------------------- (1)

ℓ_n^/=а_n1ℓ₁+а_n2ℓ₂+…+а_nnℓ_n

Берiлген (1) жүйенiң коэфиценттерiнен анықталған квадрат матрица I-базистен II-базиске көшу матрицасы деп аталады.

Берілген базис векторларынан матрица құрастырайық. Сол жақтағы матрицаны элементар түрлендіру арқылы бірлік матрицаға келтірейік, срнда элементар түрлендіру нәтижесінде оң жақта пайда болған матрица базистен базиске көшу матрицасын береді.

-3

-2

+

-5/4

-4

1/2

-1/2

-5

-1/4

I-базистен II-базиске көшу матрицасы

10-ТАПСЫРМА. Сызықты түрлендiрудiң меншiктi мәндерiн және меншікті векторын табыңдар:

Шешуi. Сызықты түрлендірудің сипаттамалық матрицасын құрастырып сызықты түрлендірудің сипаттамалық көпмүшелігін есептеп, сипаттамалық теңдеудің түбірлерін табайық.

Анықтауышты есептейік:

теңдеуін шешіп, теңдеудің түбірлерін табайық.

, сызықты түрлендірудің бірінші меншікті мәні.

сызықты түрлендірудің екінші және үшінші меншікті мәндері.

мәніне сәйкес меншікті вектордың координаттарын

немесе

жүйені шешу арқылы табамыз. Сонда және . Егер деп тағайындасақ, онда және болады.

Демек, бірінші меншікті вектордың координаттары

болады.

меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті вектордың координаталарын табу үшін

немесе

жүйесін шешу керек. Жүйені шешіп, және екендігіне көз жеткізуге болады. деп тағайындасақ, онда және болады.

Демек, екінші меншікті вектордың координаттары болады.

меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті вектордың координаталарын табу үшін

немесе

жүйесін шешу керек. Жүйені шешіп, және екендігіне көз жеткізуге болады. деп тағайындасақ, онда және болады.

Демек, үшінші меншікті вектордың координаттары

болады.

Сонымен, берілген А матрицасының , және меншікті мәндері, ал , және меншікті векторлары (тұрақтылық дәлдікпен) болады.

11-ТАПСЫРМА. cанын комплекс жазықтықта бейнелеп, оның алгебралық, тригонометриялық және көрсеткiштiк түрде жазып және есептеп, бейнесiн табу керек.

Шешуi: Мұнда . Берiлген комплекс санның бейнесi M-нүктесi болады (3-cурет) және модулi мен аргументi былай анықталады:

Cонда санының алгебралық, тригонометриялық және көрсеткiштiк түрлерi былай болады:

у М z2 z1 2 O x z3 3-сурет

. есептеу үшiн (*) формуланы пайдаланамыз.

Сонда

,

болғанда,

,

болғанда,

,

болғанда,

.

түбiрлерi 24-суретте бейнеленген .