§7. Полярная система координат.

Определение положения точки с помощью декартовых координат не является единственным способом.

Пусть дана некоторая плоскость. Выберем на ней точку , из нее проведем луч . На этом луче выберем единицу масштаба. Тогда любая точка плоскости будет однозначно определена, если известно ее расстояние от точки , то есть длина отрезка , и угол , образованный лучом и отрезком . Пара чисел и называется полярными координатами точки : – полярный угол, – полярный радиус, луч – полярная ось, точка – полюс.

Угол φ считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси в направлении, противоположном направлению часовой стрелки. Область изменения полярных координат определяется системой неравенств: .

Если полюс полярной системы координат совместить с началом некоторой декартовой системы, заданной на той же плоскости, а полярную ось направить по оси , то полярные координаты и некоторой точки будут связаны с декартовыми координатами и следующими соотношениями:

Если известны полярные координаты и , то декартовы координаты и точки вычисляются по формулам:

.

Пример 12. Найти полярные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение.

Имеем

угол находится в четвертой четверти, то есть

Ответ: .

Решение типового варианта

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти : 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) угол в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ; 6) уравнение прямой , проходящей через точку параллельно стороне ; 7) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно прямой .

Решение.

1.Расстояние между точками и определяется по формуле

(1)

Применяя (1) , находим длину стороны : .

2. Уравнение прямой , проходящей через точки и , имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек и , получим уравнение стороны : ; ; ; ;

.

Решив последнее уравнение относительно , находим уравнение стороны в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

; , откуда .

Подставив в (2) координаты точек и , получим уравнение прямой :

; ; ;

_, откуда .

3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны , вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол образован прямыми и , угловые коэффициенты которых найдены: ; Применяя (3) , получим

;

, или рад рад.

4. Уравнение прямой проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид (4)

Высота перпендикулярна стороне . Чтобы найти угловой коэффициент высоты , воспользуемся условием перпендикулярность прямых. Так как , то . Подставив в (4) координаты точки и найденный угловой коэффициент высоты, получим

; ; _.

Чтобы найти длину высоты , определим сперва координаты точки – точки пересечения прямых и . Решая совместно систему находим , т.е. .

По формуле (1) находим длину высоты : .

5. Чтобы найти уравнение медианы , определим сначала координаты точки , которая является серединой стороны , применяя формулы деления отрезка на две равные части:

(5)

Следовательно, ; _.

Подставив в (2) координаты точек и , находим уравнение медианы: ; ; .

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты и медианы , решим совместно систему уравнений

, ; .

6. Так как искомая прямая параллельна стороне , то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой . Подставив в (4) координаты найденной точки и угловой коэффициент , получим ; ; _.

7. Так как прямая перпендикулярна прямой , то искомая точка , расположенная симметрично точке относительно прямой , лежит на прямой . Кроме того, точка является серединой отрезка . Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки :

; ; ; ; .

Треугольник , высота , медиана , прямая и точка построены в системе координат на рис. 6.

Рис.6

Задача 2. Даны координаты четырех точек: , ,

С (3; 2; 0) и . Требуется: 1) составить уравнение плоскости , проходящей через точки , и ; 2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости ; 3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью и с координатными плоскостями , и ; 4) найти расстояние от точки до плоскости .

Решение.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки _, , , имеет вид (1)

Подставив в (1) координаты точек , и , получим:

Разложим определитель по элементам первой строки:

.

Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости :

(2)

2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид ; (3)

где - координаты точки, через которую проходит прямая (3), а - координаты направляющего вектора этой прямой. По условию прямая проходит через точку и перпендикулярна плоскости . Следовательно, подставив в (3) координаты точки и заменив числа соответственно числами 2; –1; –2 [коэффициенты общего уравнения плоскости (2)], получим

. (4)

3. Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнение прямой (4) в параметрическом виде.

Пусть , где t – некоторый параметр. Тогда уравнение прямой можно записать так:

. (5)

Подставив (5) в(2), получим значение параметра t:

; ; ; .

Подставим в (5) , находим координаты точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2): ;

Пусть – точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью ; уравнение этой плоскости .

При из (5) получаем _.

Пусть – точка пересечения прямой (4) с плоскостью ; уравнение этой плоскости .

При из (5) получаем ; ; ; _.

Пусть – точка пересечения прямой (4) с плоскостью .

Уравнение этой плоскости .

При из (5) получаем ; _.

4. Так как точка лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости и пересекается с ней в точке , то для нахождения расстояния от точки до плоскости достаточно найти расстояние между точками и : .

Задача 3.Даны вершины пирамиды _{, ,} . Найти 1)угол между ребрами и ; 2) уравнение плоскости ; 3) уравнение и высоты, опущенной из вершины на грань ; 4) угол между ребром и гранью ; 5) площадь грани ; 6)объем пирамиды _.

Решение.

1) Угол между ребрами _{и найдем, как угол между} векторами. Выразим из формулы

=

Вычислим координаты вектора и :

= = _; = =

= ;

2) Уравнение плоскости найдем из равенства:

; ; ;

.

3) Уравнение высоты , опущенной из вершины на грань _{, составим по точке и направляющему вектору плоскости . Каноническое уравнение примет вид:}

4) Вычислим координаты вектора :

.

Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :

;

.

.

;

; .

5) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.

.

6)Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на ребрах _, и . Следовательно

.

Ответ: ; _; ; .

Задача 4. Привести уравнение к каноническому виду и построить график.

а) ; б) ; в) .

Решение а)

1. Группируем и

2. Выносим коэффициент при за скобку

3. В скобках выделяем полный квадрат

4. Раскрываем внешние скобки

5. Квадрат оставляем слева, а все остальное переносим вправо

6. Выносим коэффициент при за скобку

7. Делим обе части равенства на 2

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в т. . Ветви параболы направлены вправо.

Строим график.

В системе координат отмечаем точку и через нее проводим новые оси . Ось будет осью симметрии параболы. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

С осью :

; ; .

. Отмечаем ее в системе .

С осью :

; ;

Точек пересечения с осью нет.

Строим точку симметричную точке относительно оси . Через точки проводим параболу.

Решение б)

1. Группируем и

2. Выносим коэффициент при и за скобки

3. В каждой скобке выделяем полный квадрат

4. Раскрываем внешние скобки

5. Квадраты оставляем слева, а все остальное переносим вправо

6. Делим обе части равенства на 36

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке . Ветви гиперболы направлены вправо-влево.

Действительная полуось , мнимая полуось

Фокусы расположены на оси .

Строим график.

1. В системе координат отмечаем точку и через нее проводим новые оси .

2. В системе координат от точки откладываем вправо и влево действительную полуось . Получаем точки и . Вверх и вниз откладываем мнимую полуось . Получаем точки и .

3. Через точки , , , проводим прямые, параллельные координатным осям. Получаем прямоугольник.

4. В прямоугольнике проводим диагонали и продолжаем их за прямоугольник. Эти прямые являются асимптотами гиперболы.

5. Из точек и проводим ветви гиперболы, приближая их к асимптотам.

Решение в)

1. Группируем и

2. Выносим коэффициент при и за скобки

3. В каждой скобке выделяем полный квадрат

4. Раскрываем внешние скобки

5. Квадраты оставляем слева, а все остальное переносим вправо

6. Делим обе части равенства на 1600

7. Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке

и полуосями и

Строим график.

1. В системе координат отмечаем точку и через нее проводим новые оси .

2. В системе координат от точки откладываем вправо и влево полуось . Получаем точки и . Вверх и вниз откладываем полуось . Получаем точки и .

3. Через точки , , , проводим прямые, параллельные координатным осям. Получаем прямоугольник.

4. Внутри прямоугольника строим эллипс.

Задача 5.Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) найти уравнения данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

2) по полученному уравнению определить, какая это линия;

3) построить линию.

_{Решение.}

_{1) Изменяя значения угла от 0 до 2π через промежуток , зададим таблицу.}

φ	0
r	3,3(3)	3,42	3,69	4,197	5	6,18	7,73	9,29	10	9,29	7,73	6,18	5

φ
r	4,197	3,69	3,42	3,3(3)

2) Полярные и декартовы системы координат взаимно связаны формулами:

; ; ;

Следовательно: ; .

умножим обе части равенства на

; ; ;

; ;

- уравнение задает эллипс.

Приведём его к каноническому виду:

;

;

;

разделим обе части равенства на

.

Следовательно, данное уравнение задаёт эллипс с центром в точке с координатами полуосями , .