§ 3. Прямая в пространстве.

Две плоскости, если они не параллельны и не совпадают, пересекаются по прямой. Эту прямую можно описать системой вида:

, (3.1)

где - уравнение одной из пересекающихся плоскостей, - уравнение другой плоскости. Систему двух уравнений с тремя неизвестными называют общим уравнением прямой в пространстве. Известно, что система двух линейных уравнений с тремя неизвестными имеет множество решений, если она совместна. Из всего множества решений всегда можно выделить два различных, что геометрически будет соответствовать двум различным точкам и , принадлежащим данной прямой. Через две точки проходит единственная прямая, уравнение которой имеет вид:

. (3.2)

Определим вектор , параллельный данной прямой, который будем называть направляющим вектором. Из условия параллельности получим:

, (3.3)

где - точка, расположенная на прямой.

Полученные уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Обозначая коэффициент пропорциональности в канонических уравнениях прямой через t, получим:

. (3.4)

Полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами. Если прямые заданы каноническими уравнениями и ,

то угол φ между ними определяется по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если , то прямые параллельны.

Необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, одной плоскости, служит равенство:

.

Если прямая пересекает плоскость , то угол , образованный прямой и плоскостью, определяют из равенства:

.

- условие параллельности прямой и плоскости;

- условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Если , то прямая пересекает плоскость . Точку пересечения прямой и плоскости можно определить из системы:

Условия принадлежности прямой плоскости имеют вид:

Расстояние d от точки до прямой, заданной каноническими уравнениями , находится по формуле:

.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяют по формуле:

,

где - точка, принадлежащая первой прямой, - точка, принадлежащая второй прямой.

Пример 2. Даны вершины треугольника , , _. Составить параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины на противоположную сторону.

Решение.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно стороне , Нормальный вектор этой плоскости .

Уравнение плоскости ,

или .

Запишем уравнение прямой :

, или в параметрическом виде:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости, перпендикулярной этой прямой, то есть основание высоты:

Подставим x, y, z в первое уравнение:

Найдем направляющий вектор высоты ВМ:

.

Возьмем вектор, коллинеарный вектору :

Параметрические уравнения высоты имеют вид:

Пример 3. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку и пересекает прямые и .

Решение.

Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . Точка - принадлежит прямой и плоскости. Вектор так же принадлежит этой плоскости. За нормальный вектор плоскости возьмем вектор , равный векторному произведению вектора и вектора :

.

Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку имеет вид: , или .

Найдем точку К пересечения плоскости и прямой

:

Решим систему: откуда .

Прямая, проходящая через точки и будет искомой. Уравнения этой прямой имеют вид:

или .