§ 2. Различные уравнения прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (2.1)

где – постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Справедливо и обратное утверждение: в декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно и .

2. Неполное уравнение прямой.

Если в общем уравнении прямой (2.1) один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;

3) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;

4) ; уравнение может быть записано в виде и определяет ось ;

5) ; уравнение записывается в виде и определяет ось .

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если из общего уравнения прямой выразить у как функцию переменной , то получим уравнение

, (2.2)

которое называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси . Коэффициент равен ординате точки пересечения прямой с осью .

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой , то поделив все члены уравнения на , получим уравнение вида

(2.3)

котороеназывается уравнением прямой в отрезках, и - отрезки, отсекаемые прямой от осей координат .

5. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части общего уравнения прямой умножить на число , которое называют нормирующим множителем, то получим уравнение

. (2.4)

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Знак нормирующего множителя выбирают из условия . Коэффициент в нормальном уравнении прямой равен длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и определяет расстояние от начала координат до прямой; - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны координаты двух точек и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, записывается в виде:

. (2.5)

Если , то уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид . Если , то уравнение имеет вид .

7. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Всякий ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора имеет вид:

. (2.6)

Это уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

8. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Если каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой обозначить буквой t и из полученных равенств выразить х и у, то получим систему:

(2.7)

Эту систему называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку в направлении вектора .

9. Расстояние от точки до прямой

находится по формуле: .

Отклонением точки отпрямой называют величину .

10. Угол между прямыми.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, совпадающими или пересекающимися. Если прямые заданы общими уравнениями

, , то:

1) если - прямые совпадают;

2) если - прямые параллельны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми можно определить по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

, то:

1) если - прямые параллельны;

2) если - прямые перпендикулярны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми такого вида определяется по формуле: .

Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения определяют из системы: в случае задания прямых их общими уравнениями.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то система для нахождения координат точек пересечения имеет вид:

Пример1. Даны вершины треугольника , , . Написать:

1) уравнения сторон треугольника;

2) уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины ;

3) уравнение биссектрисы угла ;

4) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершины .

Решение.

1). Запишем уравнение стороны : так как координаты вершин и известны, то воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

или преобразуя, получим

Запишем уравнение стороны : или

Запишем уравнение стороны : , или

2). Вычислим координаты середины стороны :

Длину медианы вычислим по формуле:

Запишем уравнение медианы : или

Вычислим угловой коэффициент прямой . Для этого выразим у из ее уравнения: ,тогда угловой коэффициент .

Высота, опущенная из вершины угла , перпендикулярна стороне . Ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности: . Тогда .

Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом : .

Определим из условия, что точка принадлежит прямой

Подставляя в уравнение высоты, получим:

или .

3). По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

, где – точка пересечения биссектрисы со стороной .

Найдем координаты точки по формулам деления отрезка в данном отношении:

Запишем уравнение биссектрисы :

, или после преобразования,

4). Длина высоты равна расстоянию d точки от прямой . Запишем нормальное уравнение прямой :

Длина медианы найдена в пункте 2.

Ответ: 1) , , ;

2) - уравнение медианы,

- уравнение высоты;

3) - уравнение биссектрисы угла С;

4) - длина высоты; - длина медианы.