1. Дискретті математика негіздері

2.1. Графтар және ағаштар

Графтар теориясының негізгі ұғымдарымен танысайық. «Граф» ұғымы «графо» сөзінен шыққан, ол жазамын деген ұғымды білдіреді. «График», «биография», «голография», деген сөздердің де түбірі сол. Граф ұғымын мысал арқылы түсіндірейік.

Топтар арасындағы сайысты қарасырайық. Үстел тенисі бойынша топ біріншілігіне 6 студент қатыссын: Айгүл, Бекжан, Тимур, Гүлім, Дамир, Еркін. Біріншілік айналу жүйесі бойынша өткізіледі – жарысқа қатысушы әрбір адам қалғандарымен бір-бір рет ойнап шығады. Бұған дейін бірнеше ойын өткізілген болатын: Айгүл Бекжанмен, Гүліммен Еркінмен; Тимур, бұрын айтылғандай, Айгүлмен және Гүліммен; Тимур – Гүліммен, Дамир – Тимурмен және Еркін – Айгүлмен және Тимурмен ойнаған. Бұған дейін неше ойын ойналған және тағы неше ойын қалды?

Талқылау. Берілген есепті схема түрінде кескіндейік. Қатысушыларды нүктемен кескіндейміз: Айгүлді – А нүктесімен, Бекжанды – Б нүктесімен т.с.с. Егер қатысушылардың екеуі ойнап кеткен болса онда оларды кескіндейтін нүктені кесінділермен қосамыз. Сонда 1-суретте көрсетілгендей схема шығады.

2.1-сурет. Графтар

Мұндай схемаларды графтар деп атайды. А, Б, В, Г, Д, Е нүктелері графтың төбелері, оларды қосатын кесінділер графтың қабырғалары деп атайды. Граф қабырғаларының қиылысу нүктелері оның төбелері болып табылмайтының ескерте кетейік. Шатастырып алмау үшін граф төбелерін көбінесе нүктелермен емес, кішкентай дөңгелектермен кескіндейді. Қабырғаны көбінесе түзу сызықты кескінділермен емес, қисық сызықты кескінділермен – «доғалармен» кескіндеген ыңғайлы болады.

Ал енді есебімізге оралайық. Бұған дейін өткізілген ойындар саны қабырғалар санына тең, яғни 7. Өткізілуге тиісті ойындардың санын табу үшін, тағы бір граф сызайық, оның төбелері бұрынғыдай, бірақ қабырғалары бір-бірімен әлі ойнамаған судентерді қосатын кесінділер болады, ол 2-суретте көрсетілген. Бұл графтың қабырғасы 8 болып шықты, демек, әлі 8 ойын өткізу керек: Айгүл – Тимурмен және Дамирмен, Бекжан – Тимурмен, Дамирмен және Тимурмен т.с.с. теннис ойнауы керек.

Графтарды біз өте жиі пайдаланамыз. Темір жолдардың схемасын қарастырсақ: мұнда бекет – графтың төбесі, бекеттер арасындағы жол учаскелері – графтың қабырғалары. Кубтың, пирамиданың т.с.с. төбелері мен қабырғалары да граф құрайды.

Графтар теориясы – біршама жас ғылым. Ньютон заманыңда мұндай ғылым болмағанымен, графтардың бір түрі болып табылатын «генеологиялық ағаштар» бар еді. Графтар жөніндегі алғашқы жұмыс Леонард Эйлерге тән, ол 1736ж Петербург Ғылым академиясы публицистикаларында жарияланды. Эйлер дөңгелектері логикалық есептерде пікірлердің ақиқаттығының жиындарын кескіндеуде қолданылады.

Математикада кез келген V жиыны мен V жиынының элементтерінің парларынан тұратын E бинарлық қатынасын граф деп атайды. Белгілеуі: G = (V, E). Егер E жиынының элементтерін реттелмеген парлар ретінде қарастырсақ, ондай графты бағытталмаған (симметриялы ) деп, ал парлар оның қырлары деп аталады. Кері жағдайда граф бағытталған, ал E жиынының элементтері графтың доғалары деп аталады. (a, a) пары тұзақ деп аталады, егер Е жиынында (a, b) пары бірнеше рет кездессе, оны еселі қыр (доға) деп атайды. Тұзақсыз және еселі қырларсыз графты бағытталмаған (немесе жай ғана граф), тұзақсыз графты мультиграф, ал тұзақтар кездесетін мультиграфты псевдограф дейміз. Қыр арқылы жалғасқан граф төбелерін іргелес деп атайды. Егер қандай да бір төбе қырға тиісті болса, онда оларды инцидентті деп атайды.

Қырлары қайталанбайтын жолды тізбек деп атайды. Төбелері қайталанбайтын жол қарапайым тізбек деп аталады. Жолда болса, ол тұйық жол деп аталады. Қырлары қайталанбайтын тұйық жол цикл деп аталады. Төбелері қайталанбайтын тұйық жол қарапайым цикл деп аталады. Циклсыз байланған графты ағаш деп атайды.

Циклдардың жойылып кетуіне соқтыратын графтарды түрлендірудің бірнеше тәсілдері бар. Олар: аз мәнді байланыстардан өтіп кету, циклдық конструкцияларды бір төбеге біріктіру, тиісті түсініктерді қайта қалыптастыру, түсінікті байланыстыру.

2.2-сурет. Графтардың схемалық көрінісі

Тезаурус түсініктің ежелгі жалпы қабылданған құрылымынына, қысқаша айтқанда иерархияға түрлендіріледі, ақпаратта иеархия - циклдан тұрмайтын тұйық граф деп түсіндіріледі. Ағаш - иерархия анық түрде түсініктің қисында бағыныштылығын көрсетіп, «ортақ-жеке» қатынастар туралы айтуға мүмкіндік беріп, қалыптасу тәсілдерін іс жүзіне асыру мен білім берудің электрондық басылымдары мен ресурстарын құрастыруға көмектеседі. Информатика курсы үшін түсініктің ағаш-иерархиясының фрагменті 4-суретте келтірілген.

2.3-сурет. Ағаш мысалдары (иерархия)

Графтардың кестелік түрі де бар. Бұл жағдайда кестенің қатар және баған аттары графтың төбесімен сәйкес келеді, ал ұяшықтар сәйкес төбелер арасындағы байланысты білдіреді. Бұндай тәсіл спорттық жарыстар нәтижелері туралы ақпараттарды сақтауда кеңінен қолданылады.

3.4-сурет. Информатика курсы түсінігінің граф түріндегі көрінісі

Информатика курсының мазмұнына осындай тәсілдерді қолданып көрейік. Мысалы, 4-суретте көрсетілген графқа 1-кестеде көрсетілген кестелік көрініс сәйкес келеді.

1-кесте. Информатиканың жалпы білімдік курсы түсінігі графының кестелік көрінісі

	Ақпарат	Визуалды ақпарат	Дыбыс	Мәтін	Графика	Компьютер	Алгоритм	Мәліметтер	Бағдарламалау тілі
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ақпарат	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Визуалды ақпарат	1	0	0	0	0	0	0	1	0
Дыбыс	1	0	0	0	0	0	0	1	0
Мәтін	1	0	0	0	0	0	0	1	0
Графика	1	0	0	0	0	0	0	1	0
Компьютер	0	0	0	0	0	0	0	0	1
Алгоритм	0	0	0	0	0	0	0	1	0
Мәліметтер	0	1	1	1	1	1	0	0	0
Бағдарламалау тілі	0	0	0	0	0	0	1	0	0

Ақпараттық жинақтау технологиясы шеңберінде түсінік иерархиясын құру мен өңдеуді автоматтандыруға мүмкіндік беретін программалық құрауыштар жасалады. Осындай өңдеудің өнімдерінің бірі ретінде электрондық басылымдар мен ресурстарды атауға болады. Иерархияны электронды өңдеу дегеніміз қосымша медиа-ақпаратпен қамтамасыз етілген түсінік, ол арқылы бір ізге салынған оқулықтар мен көмекші құралдар (қағаз және электронды), барлық сала бойынша оқу курстарының жобаларын, телекоммуникация мен программалық жүйелерде орналастыру үшін электронды сайттар жасау жүзеге асырылады.

ЛЕКЦИЯ №2

(2 сагат)

2. Санақ жүйесі

3.1. Санақ жүйесінің негізгі ұғымдары

Сандардың атау және жазу ережелері мен әдістерінің жиыны санақ жүйесі деп аталады. Санақ жүйесінің негізі(q) дегеніміз қолданылатын цифрлар саны.

Санақ жүйелері сандарды бейнелеу тәсіліне байланысты позициялық және позициялық емес болып екіге жіктеледі. Егер цифрдің мағыналы мәні оның позициясынан тәуелді болса, онда ол позициялық санақ жүйесі деп аталады. Мысалы, 111 саны позициясына байланысты бірлік, ондық және жүздік ұғымдарын береді. Позициялық емес санақ жүйесінде цифрдің мәні оның позициясынан тәуелсіз. Мысалы, римдік санақ жүйесіндегі ІІІ саны; мұнда үш «бір» бірігіп «үш» санын береді және олардың мағынасы позициясынан тәуелсіз.

Санақ жүйелерінің төрт түрі бар. Олар:

1. екілік санақ жүйесі (0 мен 1)

2. сегіздік санақ жүйесі (0,1,2,3,4,5,6,7)

3. ондық санақ жүйесі (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

4. оналтылық санақ жүйесі (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Барлық санақ жүйелерінің ішіндегі ең қарапайымы, әрі есептеуіш құрылғылар үшін маңыздысы - екілік санақ жүйесі, q=2.

Есептеуіш техника дамуының алғашқы кезеңінен бастап нақты сандармен жүргізілетін арифметикалық амалдар екілік санақ жүйесінде жүргізілді. Себебі, барлық сигналдар 0 мен 1 түрінде беріледі. Жедел жады транзисторлары (конденсаторлар) екі мәннің біреуін ғана қабылдайды: зарядталған немесе зарядталмаған. 1 саны «ақиқат», 0 саны «жалған» ұғымын береді.

Кез-келген санды 0 мен 1 көмегімен жазуға болады. Мысалы, 7 санын екілік санақ жүйесінде жазсақ, 111 саны шығады: . Екілік санақ жүйесінде жұмыс жасау үшін 8 ереже жеткілікті. Олар:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

№1 мысал: 1001+1011 екілік санақ жүйесінде сандардың қосындысын есептейік.

Тексеру:

№2 мысал: 101*110 екілік санақ жүйесіндегі сандардың көбейтіндісін есептейік.

Тексеру:

Сегіздік санақ жүйесі 0-ден 7-ге дейінгі сандарды қамтиды. Сегіздік санақ жүйесі екілік санақ жүйесіне қарағанда, үш есе көп ( ) разрядтар санын қажет етеді.

Күнделікті өмірде ондық санақ жүйесі қолданылады. Математикада кез-келген санды 0-ден 9-ға дейінгі сандар көмегімен жазуға және әртүрлі есептеулер жүргізуге болады. Оналтылық санақ жүйесі 0-ден 9-ға дейінгі сандар және A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) цифрларын қамтиды. Ол үлкен диапазонды сандарды жазу мүмкіндігін береді.