Задача 4+

Однофакторный эксперимент. Равномерный симметричный план (РСП)

Теория с примерами (кратко)

1. Однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все 3 фактора ортогональны, имеет вид

. (1)

2. Ортогонализирующий коэффициент для ортогонализации квадратичного фактора рассчитывается по формуле (  – число опытов)

. для РСП (2)

3. Для расчета ортогонализирующего коэффициента , коэффициентов уравнения регрессии и их доверительных интервалов для РСП можно использовать формулы:

, (3)

. (4)

. (5)

4. Натуральные значения фактора заданы на отрезке . Взаимосвязь нормированных значений фактора Х₁ с натуральными х₁ определяется следующими формулами:

; (6)

; (7)

; (8)

, (9)

где  – основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х₁, соответственно. Из уравнений (6) – (9) следует, что если , то .

5. Матрица планирования (МП) – таблица для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка, состоящая из N опытов с числом дублей n в каждом опыте, включает в себя столбцы: . Значения (значение параметра Y в j-ом опыте и в i-ом дубле) позволяют провести предварительную обработку экспериментальных данных: расчет выборочных средних и выборочных дисперсий в каждом опыте, проверку выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена, расчёт дисперсии воспроизводимости и её числа степеней свободы . Число опытов  должно быть больше числа коэффициентов уравнения регрессии. Число опытов позволяет рассчитать все 3 коэффициента однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и обеспечивает надежную проверку уравнения регрессии на адекватность.

Для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка будем создавать МП на базе равномерного симметричного плана (РСП), в котором натуральные значения варьируются на равноотстоящих друг от друга уровнях:

, . (10)

С учётом уравнений (6) – (9) нормированные значения фактора на базе РСП имеют следующие значения:

, . (11)

NB! Нормированные значения фактора зависят только от числа опытов N и не зависят от интервала варьирования натурального значения фактора

5.1. Предварительная обработка экспериментальных данных в МП на базе РСП для N ‑ опытов и n – дублей в каждом опыте .

5.1.1 Расчёт выборочных параметров:

‑ выборочное среднее в каждом опыте

, ; (12)

‑ выборочная дисперсия в каждом опыте

, . (13)

5.1.2. Проверка выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена при условии, что объём всех выборок одинаковый :

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена равно

; (14)

‑ табличное значение критерия Кохрена , в котором на первом месте стоит число степеней свободы максимальной дисперсии, а на втором ‑ число степеней свободы , равное числу всех дисперсий при доверительной вероятности, выбирается из таблицы приложения 5;

‑ выборочные дисперсии с вероятностью однородны, если

; (15)

‑ выборочные дисперсии неоднородны, если

. (16)

5.1.3. Если число дублей , то проверку случайных значений выборки на промах и на принадлежность их к нормальному закону распределения можно не производить.

5.1.4. Если все выборочные дисперсии однородны, то дисперсия воспроизводимости и ее число степеней свободы рассчитывают по формулам:

; (17)

. (18)

6. Матрица моделирования (ММ) – таблица для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка, состоящая из N опытов ( ) с числом дублей n ( ), включает в себя столбцы , , значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных: расчет коэффициентов уравнения регрессии и их доверительных интервалов , расчёт дисперсии адекватности и её числа степеней свободы , проверку уравнения регрессии на адекватность, расчет абсолютной ошибки прогнозирования изучаемого параметра. Столбец нормированного фактора состоит из элементов . Столбец нормированных значений фактора в ММ переносятся из МП.

6.1. Так как уравнение регрессии должно состоять только из ортогональных факторов, то прежде чем рассчитывать коэффициенты регрессии и их доверительные интервалы, необходимо убедиться в том, что факторы взаимно ортогональны (доказать самостоятельно при решении задачи своего варианта).

Определение: факторы ортогональны, если выполняются равенства:

. (19)

6.2. Коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка , с учётом того, что факторы ортогональны, рассчитывают по формулам:

; (20)

. (21)

. (22)

Для расчета коэффициентов , используя вспомогательные столбцы ММ , , , рассчитывают сумма , , . Суммы квадратов факторов , , можно получить прямым подсчетом соответствующих столбцов ММ или по формулам (3) – (5).

6.3. Проверка коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на значимость. Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнении регрессии второго порядка при условии, что факторы ортогональны, рассчитывают по формулам:

; (23)

. (24)

. (25)

6.4. Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по критерию Стьюдента:

; (26)

; (27)

; (28)

где  – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2.

6.5. Коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:

; (29)

; (30)

. (31)

Регрессионный коэффициент, для которого указанное неравенство не выполняется, следует исключить из полученного уравнения регрессии.

6.6. Проверка однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на адекватность.

Дисперсия адекватности и её число степеней свободы для однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:

; (32)

; (33)

; (34)

где  – остаточная сумма квадратов; N – число опытов; n – число дублей в каждом опыте;  ( ) – расчётные значения параметра Y по однофакторному ортогонализированного уравнению регрессии второго порядка , в котором только значимые коэффициенты; В – число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии второго порядка.

Проверка однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии любого порядка на адекватность сводится к проверке дисперсий на однородность по критерию Фишера:

‑ экспериментальное значение критерия Фишера (отношение бльшей дисперсии к мньшей)

; (35)

‑ табличное значение критерия Фишера , в котором на первом месте стоит число степени свободы бльшей дисперсии, а на втором ‑ число степени свободы мньшей дисперсии, при доверительной вероятности и выбирается из таблицы приложения 4;

‑ однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии любого порядка адекватно, если

; (36)

‑ однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии любого порядка неадекватно, если

. (37)

7. Если полученное однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка адекватно, то абсолютная погрешность для параметра , рассчитанного по уравнению регрессии , равна:

, (38)

где  – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2.

8. Параметр Y, описываемый однофакторным ортогонализированным уравнением регрессии второго порядка всегда имеет экстремум: максимум при , или минимум при . Необходимое условие максимума (минимума) – равенство нулю первой производной – , Продифференцировав однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка по фактору X₁ и приравняв к нулю первую производную , получим следующее уравнение для расчета оптимального значения фактора X₁

, (39)

откуда

. (40)

Соответствующее натуральное значение фактора рассчитывается по уравнению (7)

. (41)

Максимум (минимум) параметра и предельная абсолютная погрешность рассчитываются по уравнениям (1) и (40)

; (42)

. (43)

Типовая задача

Цель: освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных технических систем, описываемых стохастическими закономерностями.

Формулировка задачи. Зерно, собранное комбайном, имеет влажность  30 %. На току оно подсыхает до влажности  20 %. Для долгосрочного хранения на элеваторе зерно должно иметь влажность 14 %. Для сушки зерна до указанной влажности используют специальные сушила, теплоносителем в которых является горячий воздух. Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (параметр Y, кВтч/т). При прочих равных условиях удельный расход энергии зависит от температуры теплоносителя – горячего воздуха (фактор х₁, С). Необходимо изучить зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителя х₁, варьируемого в интервале и определить оптимальный режим функционирования сушила.

Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии (Y, кВтч/т) от температуры воздуха (х₁, С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х₁(С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.

Решение задачи выполним с помощью однофакторного уравнения регрессии второго порядка на базе РСП с числом опытов и числом дублей . Результаты эксперимента приведены в таблице 1.

Таблица 1. – Экспериментальные данные для РСП

N	х1j, С	Yj1, кВтч/т	Yj2, кВтч/т	Yj3, кВтч/т	Yj4, кВтч/т
1	60	73,5	75,3	73,5	74,1
2	75	60,4	60,2	63,7	61,5
3	90	55,4	59,0	58,8	54,8
4	105	54,8	55,5	54,3	51,9
5	120	59,7	62,5	57,9	57,8

План решения задачи с использованием программы Mathcad:

1. Внимательно прочитать условия задачи. Выбрать исходные данные согласно решаемому номеру варианта и ввести их в программу Mathcad.

2. Ввести формулы взаимосвязи натуральных значений фактора х₁ с нормированными Х₁ для расчета МП.

3. Выполнить предварительную обработку экспериментальных данных:

• рассчитать средние значения удельного расхода энергии (Y, кВтч/т) в каждом опыте;

• рассчитать дисперсии значения удельного расхода энергии (Y, кВтч/т) в каждом опыте;

• проверить однородность дисперсий по критерию Кохрена;

• рассчитать дисперсию воспроизводимости эксперимента.

4. Рассчитать и записать в отчет МП для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка:

• рассчитать ортогонализирующий коэффициент ;

• ввести фиктивный фактор ;

• рассчитать значения фактора .

5. Создать ММ для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и выполнить окончательную обработку экспериментальных данных:

• рассчитать коэффициенты однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка;

• рассчитать дисперсии коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка;

• проверить статистическую значимость рассчитанных коэффициентов по критерию Стьюдента.

6. В случае адекватности однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка провести оптимизацию изучаемого объекта: рассчитать оптимальные значения факторов и , значение , а также абсолютную ошибку .

7. По результатам моделирования и оптимизации изучаемой технической системы сделать вывод.