Лабораторная работа 5
Тема: Критерии устойчивости линейных САУ
Цель работы: исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой САУ по корням характеристического полинома и по критериям Гурвица, Найквиста, Михайлова.
Задачи работы:
- построить структурную схему САУ для оценки ее устойчивости.
- проанализировать устойчивость САУ средствами, предусмотренными в ПК МВТУ.
Краткие теоретические сведения
Пусть задана передаточная функция разомкнутой САУ
.
Ее
характеристическое уравнение
,
где
.
Передаточная функция замкнутой САУ:
.
Характеристическое
уравнение замкнутой системы
,
где
.
Алгебраические критерии устойчивости
Необходимое условие устойчивости – правило Стодолы:
- если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (система устойчива), то все коэффициенты характеристического уравнения имеют один знак.
Критерий устойчивости Гурвица
Если характеристический полином САУ имеет вид
,
то САР устойчива тогда, и только тогда, если определитель Гурвица
и все его диагональные миноры положительны, откуда следует, что если:
1)
=> уравнение:
.
Определитель Гурвица:
при
,
то есть условие устойчивости:
,
;
2)
=> уравнение:
.
Определители Гурвица:
,
,
так как
,
то есть условие устойчивости:
,
,
;
3)
=> уравнение:
.
Определители Гурвица:
,
,
,
условие устойчивости:
,
,
,
,
.
При
увеличении порядка системы
число
подобных неравенств, требующих проверки,
и их сложность стремительно растут,
например, для системы порядка четыре
необходимо проверить уже более сложное
неравенство
.
Частотные критерии устойчивости
Критерий устойчивости Михайлова
Годограф
характеристического полинома n-го
порядка с положительными коэффициентами
(
)
устойчивой САУ должен,
начинаясь на
положительной вещественной полуоси,
последовательно пройти n
квадрантов, поворачиваясь против часовой
стрелки. Приращение аргумента годографа
при этом составляет
.
Критерий Найквиста – позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы (всей САУ) по частотной характеристике разомкнутой системы.
Если
разомкнутая система устойчива,
то для
устойчивости замкнутой системы необходимо
и достаточно, чтобы годограф устойчивой
разомкнутой системы «не охватывал»
точку с координатами
.
Если
разомкнутая система неустойчива и имеет
неустойчивых корней, тогда для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы годограф Найквиста разомкнутой
системы охватил точку
раз.
Уточним понятие «охват точки» годографом Найквиста с помощью правила переходов:
- положительным считается переход годографа левее снизу вверх;
- отрицательным считается переход годографа левее сверху вниз;
(
– отрицательный,
– положительный).
Неохват означает, что сумма переходов равна нулю.
Охват означает, что положительных переходов больше, чем отрицательных.
Если годограф
начинается на отрицательной полуоси,
то начальный переход при
считается за 1/2 перехода.
Отметим, что устойчивость линейной САУ можно оценить также и по ее временному графику.
Для этого необходимо задать отличные от нуля начальные условия или оказать на систему ступенчатое или импульсное воздействие, а затем проанализировать характер ее движения.
В данной работе будем рассматривать системы, характеристический полином которых имеет степень не более 3.
Стенд для исследования устойчивости систем показан на рис. 1.
В нем использовано динамическое звено, позволяющее моделировать любую дробно-рациональную передаточную функцию вида
при обязательном условии
. (1)
Рис. 1
В
данном случае
–
передаточная функция разомкнутой
системы.
Для удобства замыкания-размыкания отрицательной обратной связи в ее цепь установлен ключ, который «двойным кликом мыши» переходит из замкнутого в разомкнутое состояние и наоборот.
Задание коэффициентов числителя и знаменателя производится в том порядке, как они расположены в выражении (1).
Для
построения годографов Михайлова и
Найквиста используются блоки «В
память»,
обозначенные
(Вход) и
(Выход).