8. Критерій сумісності лінійної системи
Розглянемо систему
(8.1)
Позначимо:
А = — матриця системи,
=
— розширена
матриця
системи.
Стовпці матриці А будемо позначати
,
,
... ,
,
B
=
.
Тоді систему (8.1) можна замінити матричним рівнянням
B1x1 + B2x2 + ... + Bnxn = B. (8.2)
Теорема Кронекера-Капеллі
Лінійна система (8.1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи.
Доведемо достатню умову. Нехай RgA = Rg = r. Доведемо, що в цьому випадку система (8.1) сумісна. Для простоти вважатимемо, що базисний мінор (відмінний від нуля мінор
r-того порядку) міститься у верхньому лівому кутку матриці . Тоді згідно з теоремою про базисний мінор стовпці В1, В2, ..., Вr матриці будуть лінійно незалежні, а всі інші стовпці Br+1, Br+2, ... ,Bn, B є лінійні комбінації стовпців В1, В2, ..., Вr. Зокрема, В = 1В1 + 2В2 + ... + rBr,
або B = 1В1 + 2В2 + ... + rBr + 0Вr+1 + ... + 0Bn.
Якщо порівняти цю рівність з матричним рівнянням (8.2), то одержимо, що x1 = 1, x2 = 2, ... , xr = r, xr+1 = 0, ..., xn = 0 є розв’язок системи (8.1). З цього випливає, що система сумісна.
9. Розв’язування неоднорідних систем лінійних рівнянь
Розглянемо неоднорідну лінійну систему
(9.1)
для якої має місце RgA = Rg = r.
Систему (9.1) будемо називати первісною.
Не обмежуючи загальності міркувань, будемо вважати, що відмінний від нуля базисний мінор знаходиться у верхньому лівому кутку матриці А. Рядкам цього базисного мінору відповідають перші r рівнянь системи, які називають базисними. Запишемо систему складену з цих рівнянь
(9.2)
Ця система рівносильна даній, так як інші рівняння даної системи є лінійна комбінація базисних рівнянь. А тому питання про знаходження розв’язків системи (9.1) зводиться до питання про знаходження розв’язків системи (9.2).
При цьому систему (9.2) називають вивідною.
При розв’язанні системи (9.2) можливі випадки:
1) якщо r = n, то система має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера;
2) якщо r n, то переносимо вільні невідомі в праві частини рівнянь і розв’язуємо одержану систему за формулами Крамера. Так як у цьому випадку базисні невідомі виражаються через вільні, то надаючи вільним невідомим довільні значення, одержимо нескінченну множину розв’язків первісної системи.
Вправи. Дослідити кожну iз систем та в разi сумiсностi розв’язати їх:
1)
Відповідь: а) RgA = Rg = 2; b){(-1, - +2, )T | R}.
2)
Відповідь: а) RgA = 2, Rg = 3 — несумісна.
3)
Відповідь: а) RgA = Rg = 2;
b)
.
4)
Відповідь: а) RgA = Rg = 2;
b)
.
5)
Відповідь:
а) RgA
= Rg
=
2; b)
10. Системи однорідних рівнянь
10.1. Поняття однорідної системи. Властивостi її розв’язків
Однорідна система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд
(10.1)
Оскільки вона є окремим випадком системи лінійних рівнянь загального вигляду, то всі результати дослідження неоднорідної системи справедливі i для однорідної системи. Зокрема, із теореми Кронекера-Капеллі випливає, що однорідна система завжди сумісна. Вона має єдиний (тривіальний) розв’язок або безліч розв’язків.
Розглянемо деякі властивості розв’язків однорідної системи:
1) Якщо = (1, 2, ... ,n) є розв’язок системи однорідних лінійних рівнянь, то і C = (С1, С2, ... ,Сn), де С — довільне дійсне число, також є розв’язок цієї системи.
Доведення. Запишемо однорідну систему у вигляді рівняння
ai1x1
+ ai2x2
+
... + ainxn
=
0,
.
Так як є розв’язок системи, то має місце рівність
ai11 + ... + ainn = 0.
Звідси випливає, що
ai1 С1 + ... + ainСn = 0.
Таким чином, С — розв’язок системи (10.1).
2) Якщо = (1, 2, ... , n) та = (1, 2, ... , n) є розв’язки системи однорідних лінійних рівнянь, то + також є розв'язок цієї системи.
Довести самостiйно.