2.5 Обратная матрица

Определение. Матрица вида называется обратной для квадратной матрицы A, если выполняется условие , где единичная матрица.

Определение. Если определитель матрацы отличен от нуля ( ), то матрица называется невырожденной, в противном случае (если ) – вырожденной.

Теорема (Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу и притом единственную необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля .

Алгоритм построения обратной матрицы

1. Найти определитель заданной матрицы.

2. Для всех элементов матрицы вычислить алгебраические дополнения.

3. Составить матрицу из соответствующих алгебраических дополнений.

4. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений и получить присоединённую матрицу .

5. Построить обратную матрицу из присоединённой, умножением её на число по формуле .

6. Проверить правильность выполненных действий по определению .

Пример 2.11. Найти обратную матрицу для матрицы

Решение. Вычислим определитель матрицы , , следовательно, заданная матрица имеет обратную (по теореме).

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы

, , ,

, , ,

, , .

Составим матрицу из алгебраических дополнений , затем транспонируем ее и получаем присоединённую матрицу . Обратная матрица получается умножением присоединённой матрицы на величину , .

Проверка правильности вычислений обратной матрицы производится в соответствии с равенством .

Свойства обратной матрицы

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ,

где - произведение матриц и ; - определитель обратной матрицы;

- обратная матрица к матрице ; - транспонированная матрица .

2.6 Упражнения для самостоятельной работы

1) Выполнить действия над матрицами

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е)

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) 7; е)

2) Вычислить АВ-ВА, где Ответ: .

3) Вычислить обратную матрицу для матрицы

Ответ:

4) Вычислить , где . Ответ: .

5) Вычислить определители второго порядка:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) 2; б) 1; в) 0.

6) Решить уравнения:

а) ; б) в) .

Ответы: а) 13; б)1; 2; в) .

7) Вычислить определители

а) ; б) ; в) г) д)

Ответы: а) 58; б) 79; в) 223; г) 0; д) 394.

8) Цех делает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида нужно 5 кг железа и 3 кг проволоки, второго вида — 3 кг железа и 2 кг проволоки. От реализации одного трансформатора получает прибыль 6 и 5 дол. соответственно. Цех располагает 4,8 т железа и 3 т проволоки. Сколько видов продукции производит цех? Сколько видов ресурсов используется? Составьте матрицу норм расхода, векторы удельной прибыли и запасов ресурсов. Рассмотрите несколько планов производства и определите, какие из них допустимы. Например, допустимы ли планы , ?

9) На лесопилке из еловой и пихтовой древесины делают фанеру и брусы. На 100 кв. м фанеры нужно 2 куб. м еловой и 6 куб. м пихтовой древесины и прибыль равна 170 дол. На 100 м елового бруса нужно 5 куб. м, а на 100 м пихтового бруса нужно 4 куб. м древесины, прибыль же равна соответственно 80 и 100 дол. Сколько видов продукции производит лесопилка? Сколько видов ресурсов используется? Составьте матрицу норм расхода, векторы удельной прибыли и запасов ресурсов. Докажите, что фанеру производить невыгодно, и найдите план, дающий максимальную прибыль.

10) Убедитесь на конкретных примерах, что если Y— неотрицательная вектор-строка, А - матрица, X, В — векторы-столбцы, то неравенство AX B сохранится при умножении его слева на Y. Вспомните правила действий с обычными неравенствами.