4.3.4 Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор _{(рисунок 3)}, удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где  - угол между векторами и , _;

2) вектор ортогонален векторам и _;

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается или .



_{Рисунок 3}

Свойства векторного произведения векторов

1) ;

2) , если  или = 0 или = 0;

3) (m ) = (m ) = m(  );

4) ( + ) =  +  ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то их векторное произведение есть вектор, координаты которого определяются следующим образом

 =

6. Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и _{(рисунок 3).}

Пример 4.9 Найти векторное произведение векторов

и .

_{Решение. Запишем координаты векторов} = (2, 5, 1), = (1, 2, -3), тогда

.

Пример 4.10 Вычислить площадь треугольника с вершинами

А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

_{Решение. Вычислим координаты векторов}

_{Найдём их векторное произведение}

_{Вычислим длину найденного вектора}

Ответ: (ед²).

4.3.5 Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или ( , , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и _{(рисунок 4)}.

Рисунок 4

Свойства смешанного произведения векторов

1) Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6) Если , , то

Пример 4.11 Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

_{Решение.} Найдем координаты векторов

Найдем смешанное произведение полученных векторов

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

4.4 Упражнения для самостоятельной работы

1) Разложить вектор по векторам

Ответ:

2) Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Ответ:

3) Вычислить проекцию вектора на направление вектора , если

4) Найти направляющие косинусы вектора .

Ответ: ; ; .

5) Найти площадь треугольника

Ответ: 1,5.

6) Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D (рисунок 5), если её вершины имеют координаты А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8).

B

Рисунок 5

Ответ: 11.