1.2 Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Складывая и вычитая выражения и как обычные многочлены, получим комплексные числа

и .

Их называют соответственно суммой и разностью чисел и (обозначают и ). Аналогично, умножая и как обычные многочлены и учитывая, что , получим

.

Комплексное число в правой части формулы называют произведением комплексных чисел и (обозначают ). Произведение комплексных чисел, равных , называют –й степенью числа и обозначают .

Пример 1.3 Даны комплексные числа , . Найти сумму, разность, произведение этих чисел, число возвести в 3 степень.

Решение.

1) Сумма чисел .

2) Разность чисел .

3) Произведение чисел

.

4) .

Введенные выше операции сложения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойствами, что сложение и умножение действительных чисел. Легко убедиться в справедливости следующих равенств:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Замечание. Комплексному числу на комплексной плоскости ставится в соответствие точка . Однако, можно поставить ему в соответствие и радиус-вектор . Такое соответствие тоже является взаимно однозначным, причем в этом случае операции сложения и вычитания комплексных чисел естественны с геометрической точки зрения.

Действительно, сумме соответствует вектор (где , ), а разности соответствует вектор .

Операцию деления комплексных чисел вводят как обратную умножению: комплексное число называется частным чисел и (обозначают ), если .

Пусть , и . Тогда

.

Из уравнений и находим

и .

Таким образом, .

Замечание. Тот же результат формально получится, если числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю, т.е. на .

.

В практических вычислениях пользуются именно этим приемом.

Пример 1.4 Даны числа , , найти их частное.

Решение.

.

1.3 Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение и деление комплексных чисел проще выполнять, если они записаны в тригонометрической форме. Действительно, пусть комплексные числа и заданы в тригонометрической форме

, .

Перемножив их, получим

.

Откуда, используя формулы косинуса и синуса суммы, находим

.

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы – складываются.

Формула является верной для любого конечного числа множителей. В частности, при возведении числа в степень ( ) получим .

Последнее выражение называют формулой Муавра.

Теперь разделим на . Получим

.

Но , следовательно,

.

Используя формулы для косинуса и синуса разности, находим

.

Итак, при делении на получили комплексное число, модуль которого равен частному , а аргумент – разности ( ).

Пример 1.5. Даны числа , . Найти их произведение, частное, число возвести в 5 степень.

Решение.

1. Произведение .

2. Частное .

3. Возведение в степень .

1.4 Извлечение корня n-ой степени из комплексных чисел

Определение. Пусть – натуральное число. Корнем –ой степени из комплексного числа (обозначают ) называют комплексное число , такое, что .

Пусть , . Тогда получаем

. Отсюда , , следовательно .

Таким образом, все корни –ой степени из комплексного числа могут быть найдены по формуле

, где .

Замечание. Формально в последней формуле может принимать любое целое значение. Но угол и угол различаются на величину . Следовательно, при и получается одно и то же комплексное число. Таким образом, различных значений корня будет только , чтобы их найти достаточно взять .

Пример 1.6. Найти все значения .

Обозначим значения через . Чтобы найти необходимо сначала записать комплексное число в тригонометрической форме. Имеем , ,

, ,

.

Теперь находим

,

где . Или, более подробно,

, ,

, .