4.4 Упражнения для самостоятельной работы 111

4.5.Контрольная работа по теме «Векторное пространство» 112

Образец решения контрольной работы 117

Библиографический список 120

Введение

Условия рыночной экономики предъявляют повышенные требования к уровню подготовки молодых специалистов. Знание фундаментальных положений линейной алгебры должно гармонично сочетаться с вопросами прикладного назначения данной дисциплины в соответствующей области подготовки студентов. Изучение линейной алгебры позволяет овладеть приёмами математического моделирования как социально-экономических, так и технических процессов и систем.

Учебное пособие «Линейная алгебра» состоит из введения, четырех разделов, тестовых заданий, заданий для контрольных работ и списка литературы.

В первом разделе «Комплексные числа» вводится понятие комплексного числа, их виды, операции над комплексными числами в разной форме представления.

Во втором разделе «Матрицы и определители» рассматриваются основные определения и свойства, характеризующие данные понятия, приводится классификация матриц и правила выполнения операций над матрицами.

В третьем разделе «Векторное пространство» даётся понятие обобщённого векторного пространства, частным случаем которого является, например, совокупность плоскостных векторов или матриц размера . Рассматривается определение линейной зависимости и независимости системы векторов и методы определения базиса системы векторов. Приводятся количественные примеры, позволяющие более полно понять и изучить рассматриваемый материал.

Решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) посвящён четвёртый раздел учебного пособия. Приводится схема решения данной задачи различными методами. Использование различных способов решения СЛАУ позволяет осуществлять проверку истинности найденного решения, а также выбирать наиболее рациональный из них. Решение практических задач на составление систем линейных алгебраических уравнений позволяет получить навыки в применении теоретического материала при решении прикладных задач.

В каждом разделе учебного пособия приводятся примеры решения типовых задач и упражнения для самостоятельной работы. Описываются методы решения алгебраических задач с использованием программы математических расчётов Mathcad.

В учебном пособии даются тестовые задания по дисциплине «Линейная алгебра» для проверки усвоения изучаемого материала и задания для контрольной работы, вопросы для самостоятельной работы.

1 Комплексные числа

1.1 Определение и различные формы записи комплексного числа

Пусть символ обозначает число, квадрат которого равен , то есть

.

Определение. Число называют мнимой единицей. Выражение вида , где – действительные числа, называют комплексным числом. При этом, называют действительной частью числа , – его мнимой частью. Действительную и мнимую части числа обозначают соответственно и , то есть и .

Комплексное число вида (где ) принято называть чисто мнимым и записывать в виде . Комплексные числа и (т.е. числа, которые отличаются только знаком мнимой части), называют комплексно сопряженными. Если одно из этих чисел обозначено через , то другое принято обозначать .

Определение. Пусть , . Комплексные числа и называются равными (записывают ), если соответственно равны их действительные и мнимые части, т.е. и . При этом полагают, что и . Последнее равенство позволяет рассматривать действительные числа как подмножество множества комплексных чисел.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки (рисунок 1). Причем соответствие между комплексными числами и точками плоскости будет взаимно однозначным. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью. Ось комплексной плоскости называют действительной осью, так как точкам оси соответствуют действительные числа. Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа. Поэтому ось комплексной плоскости называют мнимой осью.

Рисунок 1

Определение. Расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат , называют модулем комплексного числа и обозначают . Очевидно, что и .

Определение. Величину угла между вектором и действительной осью называют аргументом комплексного числа (при этом берут со знаком «плюс», если поворот от оси к вектору осуществляется против часовой стрелки, и со знаком «минус» – в противном случае). Очевидно, что аргумент данного комплексного числа ( ) определен неоднозначно, причем любые два значения аргумента отличаются на величину, кратную . Множество значений аргумента числа обозначают . Значение аргумента, принадлежащее промежутку , обозначают и называют главным значением аргумента. Для аргумент не определен.

Пусть , , – аргумент . Очевидно, что

, .

Тогда комплексное число можно записать в виде

.

Запись комплексного числа в виде принято называть алгебраической формой записи комплексного числа, а запись в виде – тригонометрической формой записи.

На практике нередко приходится переходить от одной формы записи комплексного числа к другой. Такой переход не представляет трудности. Действительно, если число записано в виде , то его действительная часть и мнимая часть находятся по формулам

, .

Если число записано в виде , то его модуль и аргумент находятся по формулам

,

Пример 1.1

Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа. Так как его действительная часть и мнимая часть , то

и .

Следовательно, .

Пример 1.2

Записать комплексное число в алгебраической форме.

Решение. Находим действительную и мнимую части числа . Так как его модуль , а аргумент , то

, .

Следовательно, .