4.2 Линейная зависимость векторов

Рассмотрим k   n-мерных векторов , , …,

Определение. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами соответственно называется вектор .

Пример 4.2. Даны векторы . Найти линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами , , .

Решение. Согласно определению получаем

.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю, что линейная комбинация векторов с этими коэффициентами равна нулевому вектору, то есть

.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

Теорема. Для того чтобы система векторов была линейно независимой необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один вектор из этой системы можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы. Тогда по определению линейной зависимости векторов получаем, что существует такая система чисел , среди которых имеется хотя бы одно не равное нулю, что выполняется равенство: . Пусть число не равно нулю. Из левой части полученного векторного равенства все слагаемые кроме вектора перенесем в правую часть, получим равенство:

, из которого следует, что вектор есть линейная комбинация векторов .

Достаточность. Пусть какой-нибудь вектор, например , системы векторов является линейной комбинацией остальных векторов. Перенесем все слагаемые из одной части в другую. Получим векторное равенство: , из которого следует, что векторы линейно зависимы. Теорема доказана.

Свойства линейной зависимости векторов.

1. Если система векторов содержит хотя бы один нулевой вектор, то она линейно зависима.

2. Если какая-нибудь подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов тоже линейно зависима.

3. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема тоже линейно независима.

Рассмотрим систему n-мерных векторов .

Определение. Любая совокупность (подсистема) векторов из системы векторов называется базисом данной системы, если выполняются условия:

1. векторы этой совокупности (подсистемы) линейно независимы;

2. любой вектор системы является линейной комбинацией векторов этой подсистемы.

Пример 4.3. Доказать, что одним из базисов системы векторов

, , , , является подсистема, состоящая из векторов .

Доказательство. Проверим линейную независимость подсистемы векторов , для этого составим линейную комбинацию этих векторов

, таким образом, вектор будет нулевым, если все его компоненты равны нулю .

Следовательно, векторы линейно независимы.

Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов

, , ,

, .

Согласно определению, векторы образуют базис данной системы векторов .

Определение. Векторы, составляющие базис системы векторов, называются базисными.

Говоря вообще, система векторов может иметь различные базисы. Например, в примере 4.2, кроме базисных векторов , базисами данной системы векторов являются также подсистемы , и другие. Причём все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа базисных векторов.

Определение. Число базисных векторов данной системы векторов называется рангом этой системы. Другими словами, рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Ранг системы нулевых векторов равен 0.