3.2 Теорема Кронекера-Капелли

Систему линейных алгебраических уравнений удобно записывать в матричной или векторной формах.

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений, называется матрицей системы. Матрица системы с добавлением столбцов правых частей называется расширенной матрицей системы.

Введём обозначения:

- матрица системы ;

– матрица-столбец из переменных ;

- матрица-столбец свободных членов ;

расширенная матрица системы .

Тогда систему уравнений (3.1) можно записать в матричном виде .

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы системы, то есть .

3.3 Решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений

Теорема. Система линейных алгебраических уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Доказательство. По теореме о базисном миноре всякая строка расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы. Другими словами, любое уравнение данной системы можно получить путём линейных операций из базисных уравнений. Следовательно, всякое решение, удовлетворяющее базисной системе, удовлетворяет и любому уравнению данной системы.

Обратное утверждение очевидно: любое решение всей системы есть в то же время решение каждого из уравнений и любой части системы, а следовательно, и базисной системы.

Порядок решения произвольной системы линейных уравнений

1. Вычисляются ранги основной и расширенной матриц системы. Если система совместна ( ), то находится какой-либо базисный минор.

2. Составляется базисная система уравнений, то есть система, состоящая из уравнений, соответствующих базисным строкам.

3. Решается базисная система и находится общее решение системы уравнений (3.1), из которого получаются требуемые частные решения.

Пример 3.1. Исследовать систему уравнений и найти её решения, если она совместна.

Решение. При исследовании системы нужно ответить на вопросы: совместна или несовместна система, является ли она определённой или неопределённой.

Ответ на вопрос, совместна или несовместна система, получим, применив теорему Кронекера-Капелли. Для этого надо найти ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы, то есть

и . (Проделать эту операцию самостоятельно).

Поскольку ранги равны , то система совместна. Система является неопределённой, так как ранг матриц меньше числа неизвестных переменных, следовательно, СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Возьмём в качестве базисного минора . В базисную систему войдут первое и второе уравнения системы, а и являются базисными неизвестными, - свободной неизвестной.

Запишем базисную систему в виде .

Решая её, найдём .

Общее решение системы уравнений имеет вид .

Найдём частные решения:

- если , то ;

- если , то .

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

3.3.1 Матричное решение системы уравнений

Пусть задана система уравнений (3.2)

(3.2)

В матричной форме система уравнений (3.2) имеет вид ,

где - матрица системы уравнений; - матрица-столбец неизвестных; - матрица-столбец свободных членов.

Умножим обе части матричного уравнения слева на обратную матрицу системы , поскольку произведение равно единичной матрице, получаем правило решения системы уравнений (3.2) методом обратной матрицы .

Пример 3.2 Решить систему уравнений методом обратной матрицы

Решение. Запишем данную систему в матричном виде

, , .

Найдем обратную матрицу для матрицы системы, сначала вычислив определитель матрицы , определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы , , , .

Составим присоединённую матрицу и её транспонируем , тогда обратная матрица равна .

Подставляя найденные значения в правило решения системы уравнений методом обратной матрицы, получим

.

Ответ: .