Образец решения контрольной работы по теме «Комплексные числа» и «Матрицы»

Задание 1. Записать в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа. Так как его действительная часть и мнимая часть , то получаем

и .

Следовательно, , .

Задание 2 Дано комплексное число . Найти и , при .

Решение. Обозначим значения через . Чтобы найти необходимо сначала записать комплексное число в тригонометрической форме. Имеем , , , , .

Теперь по формуле Муавра находим

,

где . Или, более подробно

, ,

.

Задание 3. Вычислить определитель .

Решение. Вычислим определитель с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

Задание 4. Для матриц и вычислить матричный многочлен А² – 2ВА + А.

Решение.

.

Аналогично вычисляем .

.

А² – 2ВА + А= - + .

Задание 5. Вычислить обратную матрицу для матрицы

Решение. следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам

Составим присоединённую матрицу

Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению обратной матрицы

Найдем

Тот же результат получим и при умножении в обратном порядке.

3 Системы линейных алгебраических уравнений

3.1 Основные понятия

Определение. Алгебраическое уравнение относительно неизвестных называется линейным, если его можно записать в виде , где - постоянные числа, они называются коэффициентами уравнения, - постоянное число, называемое свободным членом.

Определение. Совокупность линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , рассматриваемых совместно, называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

              (3.1)

Система уравнений называется однородной, если .

Определение. Решением системы (3.1) называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему (3.1) вместо неизвестных , обращает все уравнения этой системы в тождества.

Определение. Система уравнений (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система уравнений система всегда совместна, ибо всегда обладает тривиальным или нулевым решением .

Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных. Однородная квадратная система уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Определение. Две системы линейных алгебраических уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными или равносильными, если они обе несовместны или обе совместны и имеют одни и те же решения. Число уравнений в эквивалентных системах может быть различным.

В отношении СЛАУ необходимо знать:

• является ли система совместной или нет;

• является ли система определенной или нет;

• каково решение системы.