§ 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
. Показательные уравнения.
Простейшее показательное (неизвестная величина находится в показателе) имеет вид ax = b, где a > 0, a ≠ 1.
Если b ≤ 0, то уравнение решений не имеет.
Если
b
> 0,
то уравнение имеет единственное решение
.
Уравнение af(x) = ag(x), где a > 0, a ≠ 1, равносильно уравнению f(x) = g(x).
При решении более сложных показательных уравнений применяются как традиционные методы: разложение на множители, замена переменной (в том числе для сведения уравнения к квадратному), так и логарифмирование обеих частей по нужному основанию.
Пример
1.
Решить уравнение:
.
;
так как основания выражений в правой и
в левой частях одинаковы, то для выполнения
равенства, необходимо равенство
показателей степени, то есть x
= 3.
Ответ: 3.
Пример
2.
Решить уравнение:
.
Данное уравнение не имеет решений, так как область значений любой показательной функции , то есть не может принимать отрицательных значений.
Ответ: .
Пример
3.
Решить уравнение:
.
После
несложных преобразований данное
уравнение принимает вид однородного
уравнения второй степени:
,
которое после деления обеих частей на
принимает вид:
.
Заметим, что деление на корректно, так как при любом x R 5x > 0 (по свойству показательной функции).
Далее,
вводим новую переменную
и
получаем квадратное уравнение:
После
обратной замены получаем
Ответ:
.
. Показательные неравенства.
При решении показательных неравенств необходимо учитывать характер монотонности показательной функции в зависимости от основания.
Простейшее показательное неравенство af(x) ≤ ag(x) при a > 1 равносильно неравенству f(x) ≤ g(x), а при 0 < a < 1 неравенству f(x) ≥ g(x).
Пример
1.
Решить неравенство:
.
Данное неравенство не имеет решений, так как показательная функция при любом x принимает только положительные значения.
Ответ: .
Пример
2.
Решить неравенство:
.
Данное неравенство всегда верно, так как показательная функция при любом x принимает только положительные значения.
Ответ: (– ∞; + ∞).
Пример
3.
Решить неравенство:
.
,
функция 2x
– возрастающая, так как 2 > 1;
x > – 6.
Ответ: (– 6; + ∞).
Пример
4.
Решить неравенство:
.
,
функция
–
убывающая, так как
;
x ≤ 6.
Ответ: (– ∞; 6].
. Логарифмические уравнения.
Простейшее
логарифмическое уравнение имеет вид
,
где a
>
0,
a
≠
1.
Оно имеет единственное решение x = ab.
Уравнение
вида
,
где a
>
0,
a
≠
1 равносильно системе
Таким образом, логарифмические уравнения можно решать, находя ОДЗ с целью отбрасывания возможных посторонних корней, или выполняя ПРОВЕРКУ, подставляя найденные корни в исходное уравнение.
Пример
1.
Решить уравнение:
.
2x – 1 = 52 , 2x - 1 = 25, x = 13.
В данном примере находить ОДЗ или делать проверку необязательно, так как требование 2x – 1 > 0 выполняется автоматически.
Ответ: 2,5.
Пример
2.
Решить уравнение:
.
ОДЗ
уравнения: x
> 0.Данное уравнение с помощью замены
приводится к квадратному уравнению:
,
корни которого t1
= 1 и t2
=
2.
Делаем обратную замену и решаем совокупность простейших логарифмических уравнений:
x = 10 |
x = 100 |
или
;Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 10;100.
V. Логарифмические неравенства.
При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать характер монотонности соответствующей функции в зависимости от её основания (функция убывает при 0 < a < 1, возрастает при a > 1).
Неравенство
равносильно системе неравенств:
при
a
>
1
при
0 < a
< 1.
Обобщая,
получим: неравенство
равносильно совокупности систем
неравенств:
или
Пример.
Решить неравенство:
.
.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
-
x
½
1
.
Ответ:
(ответ
можно записать в виде
).
-
Вопросы и задачи
1 уровень
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
.
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
2 уровень
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
3 уровень
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
.
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
.
Решите системы уравнений:
а)
;
б)
.
Решите системы уравнений:
а)
;
б)
.
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
Решите систему неравенств:
.Решите систему неравенств:
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
Решите системы уравнений и неравенств:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решите системы уравнений и неравенств:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.