§ 4. Логарифмы и их свойства.
. Понятие логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы.
Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени, в который надо возвести число a, чтобы получить b.
Из
определения непосредственно следует
равенство
,
называемое основным
логарифмическим тождеством.
Примеры:
,
так как
;
;
не определен, так как
;
;
не определен, так как не выполнено
условие
.
Для
удобства, ввиду частого использования,
логарифмы по основанию 10 назвали
десятичными
логарифмами, а логарифмы по основанию
е
- натуральными
логарифмами
и ввели следующие обозначения:
;
.
Примеры:
,
так как
;
,
так как
;
,
так как
.
. Свойства логарифмов и основные формулы
Свойства логарифмов.
①
;
②
;
③
;
④
;
⑤
;
⑥
.
Основные формулы (соотношения):
①
;
②
;
⑤ Формула перехода к новому основанию:
;
в частности,
;
Дополнительные формулы:
⑥
;
⑦
Пример 1.
;
Пример 2.
;
Пример 3.
;
Пример 4.
;
Пример 5.
.
-
Вопросы и задачи
1 уровень
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вычислите:
а)
б)
;
в)
;
г)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Выясните, при каких значениях x существует логарифм:
а)
;
б)
;
в)
.
Выясните, при каких значениях x существует логарифм:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
.
Вычислите:
а)
;
б)
.
2 уровень
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Выясните, при каких значениях x существует логарифм:
а)
;
б)
;
в)
.
Выясните, при каких значениях x существует логарифм:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
Вычислите:
а)
;
б)
.
3 уровень
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
.
Вычислите:
а)
;
б)
.
Выясните, при каких значениях x существует логарифм:
а)
;
б)
;
в)
.
Выясните, при каких значениях x существует логарифм:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите:
а)
;
б)
.
Вычислите:
а)
;
б)
.
Вычислите:
а)
,
если
;
б)
,
если
.
Вычислите:
а)
,
если
;
б)
,
если
.
§ 5. Показательная и логарифмическая функции, их графики и основные свойства.
. Показательная функция, её свойства и график.
Определение:
Функция вида
называется показательной.
Основные свойства:
①
;
②
;
③ При
функция
является возрастающей;
при
,
функция является убывающей.
График
показательной функции проходит через
точку (0;1),
так как
.
Для определенности пусть a = 2
|
Для определенности пусть a = ½
|
. Логарифмическая функция, её свойства и график.
Определение:
Функция вида
называется логарифмической.
Основные свойства:
①
.
②
.
③ При
,
то функция
является возрастающей; при
,
функция является убывающей.
График
логарифмической функции проходит через
точку (1;0), так как
Для определенности пусть a = 2
|
Для определенности пусть a = ½
|
Замечание: показательная и логарифмическая функции с одинаковым основанием являются взаимно обратными, в связи с этим их графики симметричны относительно прямой y = x.
|
|
-
Вопросы и задачи
1 уровень
На координатной плоскости постройте графики функций:
а)
;
б)
.
На координатной плоскости постройте графики функций:
а)
;
б)
.
Найдите значение функции в точке x0:
а)
;
б)
.
Найдите значение функции в точке x0:
а)
;
б)
.
Укажите область определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Укажите область определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Укажите область значений функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Укажите область значений функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2 уровень
Укажите область определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Укажите область определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Укажите область значений функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Укажите область значений функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3 уровень
Найдите область определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найдите область определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найдите область значений функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Найдите область значений функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Постройте график функции и исследуйте её:
.Постройте график функции и исследуйте её:
.Укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты (если они есть) графиков функций:
а)
;
б)
.
Укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты (если они есть) графиков функций:
а)
;
б)
.
Найдите, обратную функцию для функций:
а)
;
б)
.
Найдите, обратную функцию для функций:
а)
;
б)
.