§ 2. Композиция функций и взаимно обратные функции.

Определение: Пусть g функция из A в B, а f - функция из B в C. Тогда функция f(g), ставящая в соответствие каждому элементу xA элемент f(g(x))C, называется композицией функций g и f и обозначается y = f(g(x)) (такую функцию называют также «сложной» функцией). Для композиции функций иногда используется обозначение g ◦ f.

Пример:

Определение: Функции f: AB и g: BA называются взаимно обратными, если для любого xA g(f(x) = x и для любого xB f(g(x)) = x. Заметим, что здесь обязательными являются условия: D(f) = E(g) и D(g) = E(f).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x (биссектрисы  и  координатных четвертей).

Пример:

, ;

, ;

.

Таким образом, D(f) = E(g), D(g) = E(f), g(f(x))= f(g(x)) = x, следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Вопросы и задачи

1 уровень

9. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

9. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

9. Найдите область значений функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Найдите область значений функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Докажите, что функция является четной:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

9. Докажите, что функция является четной:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

9. Докажите, что функция является нечетной:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

9. Докажите, что функция является нечетной:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

9. Найдите значение f(0), f(1), f(- 2):

а) ; б) ; в) ; г) ;д) ;е) .

9. Найдите значение f(0), f(- 1), f(3):

а) ;б) ;в) ;г) ;д) ;е) .

9. Проведите общее исследование функции, заданной графиком:

   y 3 y= f(x) 2 1 - 3 0 - 4 3 4 x - 3 а)

   y y= f(x) 3 2 - 5 1 x - 4 - 3 0 3 4 б)

10. Проведите общее исследование функции, заданной графиком:

а)	б)
y 3 y= f(x) 2 1 4 0 - 6 - 4 - 3 3 x - 2	y y= f(x) 4 3 - 4 - 3 1 3 4 x - 6 0

2 уровень

9. Найдите значение функции в точке x₀:

а) ; б) .

9. Найдите значение функции в точке x₀:

а) ; б) .

9. Найдите область определения функции:

а) ; б) .

9. Найдите область определения функции:

а) ; б) .

9. Найдите нули функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Найдите нули функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) ; б) ; в) ;г) .

9. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Найдите область значений функции:

а) ; б) ; в) .

9. Найдите область значений функции:

а) ; б) ; в) .

9. Постройте график функции и исследуйте его:

а) ; б) ; в) .

9. Постройте график функции и исследуйте его:

а) ; б) ; в) .

9. Достройте графики функций, изображенные на рисунках так, чтобы в каждом случае на отрезке - 5; 5 получился график четной функции. Исследуйте функцию по общей схеме:

а)	б)
y 3 y= f(x) 2 1 4 5 0 - 4 - 3 3 x - 2	y y= f(x) 4 2 - 4 - 3 1 3 4 x 0 5

9. Достройте графики функций, изображенные на рисунках так, чтобы в каждом случае на отрезке - 5; 5 получился график четной функции. Исследуйте функцию по общей схеме:

а)	б)
y y= f(x) 3 2 1 0 - 4 - 3 3 4 5 x - 2	y y= f(x) 4 2 - 4 - 3 1 3 5 x 0 4

9. Достройте графики функций, изображенные на рисунках так, чтобы в каждом случае на отрезке - 5; 5 получился график нечетной функции. Исследуйте функцию по общей схеме:

а)	б)
y 3 y= f(x) 2 1 4 5 0 - 4 - 3 3 x - 2	y y= f(x) 4 2 - 4 - 3 1 3 4 x 0 5

9. Достройте графики функций, изображенные на рисунках так, чтобы в каждом случае на отрезке - 5; 5 получился график нечетной функции. Исследуйте функцию по общей схеме:

а)	б)
y y= f(x) 3 2 1 0 - 4 - 3 3 4 5 x - 2	y y= f(x) 4 2 - 4 - 3 1 3 5 x 0 4

3 уровень

9. Дана функция y = f (x), где

а) Найдите f(- 5), f(- 3), f(0), f(4);

б) постройте график функции;

в) проведите исследование функции.

9. Дана функция y = f (x), где

а) Найдите f(- 6), f(- 3), f(0), f(6);

б) постройте график функции;

в) проведите исследование функции.

9. Найдите область определения функции:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Найдите область определения функции:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Найдите область значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

9. Найдите область значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

9. Проверьте, являются ли взаимно обратными функции:

а) и ; б) и ;

в) и ; г) и .

9. Проверьте, являются ли взаимно обратными функции:

а) и ; б) и ;

в) и ; г) и .

9. Выясните, имеет ли функция обратную:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Выясните, имеет ли функция обратную:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Исследуйте функцию на четность:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Исследуйте функцию на четность:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты (если они есть) графика функции, не выполняя построения графика:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты (если они есть) графика функции, не выполняя построения графика:

а) ; б) ; в) ; г) .

9. Проведите полное исследование функции:

а)	б)
y 3 y= f(x) 2 - 3 1 4 0 5 - 4 3 x - 2	y 4 y= f(x) 2 - 4 - 3 1 3 4 5 x 0

9. Проведите полное исследование функции:

а)	б)
y 3 y= f(x) 2 1 4 - 3 0 5 - 4 3 x - 2	y 4 y= f(x) 1 2 - 4 - 3 0 3 4 5 x