МАТЕМАТИКА, семестр 1

Лекция 8 Векторная алгебра и аналитическая геометрия

План лекции

Скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов. Вычисление этих величин в декартовой системе координат. Аналитическая геометрия: Уравнение прямой на плоскости, уравнение плоскости в пространстве, уравнение прямой в пространстве.

1. Вычисление скалярного произведения в декартовой системе координат

Теорема 1. В декартовой системе координат скалярное произведение геометрических векторов равно сумме попарных произведений их координат.

Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение векторов и , заданных в декартовой системе координат . Используя свойства скалярного произведения векторов, запишем следующие преобразования:

Мы использовали тот факт, что скалярное произведение различных, взаимно перпендикулярных, базисных векторов равно 0. В то же время скалярное произведение одинаковых базисных векторов единичной длины равно 1. Теорема доказана.

2. Векторное произведение векторов

Определение 1. Векторным произведением геометрических векторов и называется вектор , такой что: а) ; б) , ; в) векторы , , образуют правую тройку векторов.

Для векторного произведения могут быть использованы следующие обозначения: .

Справедливы следующие свойства векторного произведения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Свойства 1), 3) и 4) прямо следуют из определения векторного произведения. Свойство 2) мы принимаем без доказательства.

Еще раз подчеркнем, что результатом векторного произведения векторов является вектор, по длине равный площади параллелограмма, построенного на векторах и . Поэтому с помощью векторного произведения можно находить площади параллелограммов и треугольников. Кроме того, векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы параллельны одной прямой, что позволяет проверять коллинеарность заданных векторов.

3. Вычисление векторного произведения в дск

Теорема 2. В декартовой системе координат векторное произведение геометрических пространственных векторов и равно вектору .

Доказательство. Рассмотрим векторное произведение векторов и , заданных в декартовой системе координат . Используя свойства 2), 3) векторного произведения векторов, запишем следующие преобразования:

.

Для получения заключительного результата заметим, что в силу свойства 4 векторные произведения равных векторов равны нулевому вектору, т. е. , , . Кроме того, из правой ориентации базисных векторов следует, что , , , , , . Продолжая вычисления, получим, что . Теорема доказана.

Полученный результат можно записать в виде . Здесь определитель мы понимаем, как формальное разложение по своей первой строке. Иными словами, данную формулу можно описать следующим образом. В декартовой системе координат векторное произведение геометрических пространственных векторов и равно вектору, порождаемому определителем, у которого первая строка состоит из базисных векторов ; вторая строка состоит из координат вектора ; третья строка состоит из координат вектора .

4. Смешанное произведение векторов

Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число, равное .

Итак, для того, чтобы найти смешанное произведение векторов, надо, не меняя порядок этих векторов, найти их векторное произведение, а затем скалярное произведение полученного и оставшегося векторов.

Для смешанного произведения векторов используются обозначения: .

Теорема 3. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, и взятому со знаком « », если тройка векторов – правая, и взятому со знаком « », если тройка векторов – левая.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное

произведение векторов и . Это вектор, перпендикулярный плоскости векторов , , равный по длине площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рассмотрим теперь скалярное произведение векторов и . Отметим, что векторы , и вектор образуют правую тройку векторов. Поэтому, если векторы , , также образуют правую тройку векторов, то векторы и образуют между собой острый угол и их скалярное произведение положительно. (Иначе оно отрицательно.) В то же время , т. е. смешанное , , по модулю равно произведению площади основания параллелепипеда (параллелограмма, построенного на векторах , ) на высоту к этому основанию. Теорема доказана.

Итак, результатом смешанного произведения векторов является число, равное 0, если векторы , , компланарны, т. е. лежат в одной плоскости. Если векторы , , не лежат в одной плоскости, то смешанное произведение положительно, когда векторы , , являются правой тройкой векторов, и оно отрицательно, когда векторы , , являются левой тройкой векторов.