65 Понятие о методах решения вариационных задач

Постановка задачи вариационного исчисления

Задача вариационного исчисления: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u₀ є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение

либо максимальное значение

Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала -J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Требование 1.Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие, плотное в Х.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J(ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Абсолютный минимум называют сильным минимумом, а относительный – слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к 0 и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью 2-ой производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.

Пути решения вариационных задач

1) т.е. задача нахождения минимума некоторого функционала J(u) при заданных краевых условиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера для этого функционала, с последующим решением этой задачи.

2) применение варметодов, котпозволяют приближенно найти функцию u₀, дающую минимум функционалу J(u) и удовлетворяющую заданным краевым условиям.

Методы решения вариационных задач: минимизирующие последовательности; м приближенного решения вариационных задач; Собственные значения симметрического оператора; приближенное решение задачи на собственные значения.

66 Сведение вариационной задачи к задаче минимизации функции многих перменных

Обычно задачи, требующие минимизации функционала, подчиненного дифференциальному соот­ношению, при наличии интегрального ограничения заменяются минимизацией нового функционала

J(u)= + λ ,

подчиненного только дифференциальному соотношению. Параметр λ, в функционале, получивший название множителя Лагранжа, в задачах оптимизации управления играет роль «цены» ограниченных ресурсов. Его значение находится из граничных условий вариационной задачи.

Важнейшим понятием вариационного исчисления является понятие вариации функции, которое при исследовании функционалов играет такую же роль, как дифференциал при исследовании функций.

Пусть f(x) – функция, непрерывная на интервале [a,b]. Рассмотрим внутреннюю точку х этого интервала и некоторое фиксированное значение дифференциала аргумента функции ∆x=dx. Разность f(x+∆x)-f(x)=df(x)=f(x)∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке х. Условие df(x)=0 является необходимым условием минимума (максимума) функции f(x) в т х.

В вариационном исчислении условие δJ=0 ис­пользуется для получения так называемого диффур Эйлера, среди множества решений которого и определяется затем управление u(t), обращающее в минимум функционал.

Трудности, связанные с решением вариационной задачи

При отыскании оптимального управления вариационными методами приходится сталкиваться с трудностями, ряд которых носит принципиальный характер:

1. Вар методы дают возможность находить только относительные максимумы и минимумы функционала J(u), тогда как интерес представляет нахождение абсолютного максимума или минимума.

2. Ур Эйлера для многих техн задач оказываются нелинейными, что часто не дает возможности получить решение вариационной задачи в явном виде.

3. На значения управляющих сигналов обычно бывают наложены ограничения, делающие невозможным поиск оптимального управления вариационными методами.

Обычными ограничениями, накладываемыми на сигналы управления, являются ограничения вида |u_i(t)|≤ M_i.Означающие необходимость ограничения по величине сигналов, подводимых к органам управления. Так, ограниченными являются предельное напряжение, подводимое к якорю электродвигателя, предельный угол поворота руля самолета, предельная температура в камере эрания реактивного двигателя и т.п. При этом получение оптимальных процессов требует поддержания сигналов управления на предельных значениях, что соответствует наиболее быстрому и эффективному протеканию процессов в объекте управления

Один из подходов к вычислению оптимальных процессов получил название динамического программирования - дает возможность находить оптимальное уп­равление в многошаговых задачах. Однако он может применяться и для решения вариационных задач, если их представить в дискретной форме.

Ключевая идея вдинпрогр: чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Метод динамического программирования сверху: простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу: переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

Во многих задачах управления оказывается целесообразным считать δ=1. В частности, это удобно делать в тех случаях, когда процесс естественным образом разбивается на отдельные шаги, причем в пределах каждого шага управление u(t) остается неизменным. При этом приходим к многошаговому процессу управления, в котором x_k иu_kозначают состояние объекта и применяемое управление в начале каждого шага.