63 Классификация методов минимизации функций многих переменных

Детерминированные алгоритмы безусловной минимизации делят на классы в зависимости от вида используемой информации для формирования направления перехода. Если на каждой итерации используются лишь значения минимизируемых функций, то метод называется методом нулевого порядка. Если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции - методы первого порядка, при необходимости дополнительного вычисления вторых производных - методы второго порядка.

Классификация методов: М нулевого порядка (м конфигурации Хука-Дживса;м деформированного многогранника); М первого порядка (м градиентного спуска; м наискорейшего спуска; м наискорейшего покоординатного спуска; м сопряженных градиентов);М второго порядка (м Ньютона; м Ньютона-Рафсона; мЛевенберга-Марквардта)

Общая характеристика методов 0-го порядка

для определения направления спуска не требуется вычислять производные целевой функции. Направление минимизации полностью определяется последовательными вычислениями значений функции, и сводятся к построению траектории спуска{x^k}, вдоль которой целевая функция убывает: f(x^k+1)<f(x^k)

Общая характеристика методов 1-го порядка

Методы первого порядка основаны на свойствах градиента(градиентными методами минимизации). Использование этих методов в общем случае позволяет определить точку локального минимума функции. В градиентных методах, если нет дополнительной информации, то из начальной точки x⁰разумно перейти в точку x¹, лежащую в направлении антиградиента - наискорейшего убывания функции. Выбирая в качестве направления спуска антиградиент – f’(x^k) в точке x^k, получаем итерационный процесс вида:

x^k+1=x^k- t_kf’(x^k),t_k>0; k=0,1,2,…

В качестве критерия останова итерационного процесса используют либо выполнение условия малости приращения аргумента, либо выполнение условия малости градиента, где в качестве нормы берется евклидово расстояние. Возможен и комбинированный критерий, состоящий в одновременном выполнении указанных условий.

Градиентные методы отличаются друг от друга способами выбора величины шага t_k.

Таким образом:Метод нулевого порядка - метод, в котором на каждой итерации используются лишь значения минимизируемых функций;Метод первого порядка - метод, требующий вычисления первых производных минимизируемой функции;Метод второго порядка - методы, требующие вычисления вторых производных;

64 Методы условной оптимизации

1 Линейное программирование (лп)

раздел теории экстремальных задач, в котором изучаются задач и минимизации (или максимизации) линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Формулировка задачи ЛП (общий случай): найти вектор х* (x*₁, ..., х*_n), определяющий максимум (минимум) линейной форме f(x) с₁x₁ + с₂x₂+...+с_nx_nпри ряде ограничений.

Для решения задачи ЛП теоретически достаточно вычислить значения функции в вершинах многогранника и найти среди этих значений наибольшее или наименьшее. Разработаны специальные численные методы решения задач линейного программирования, которые ориентируются в основном на две формы записи задач.

Любую задачу можно привести к определенной форме с помощью приемов:переход к эквивалентной системе неравенств; переход от ограничения-неравенства к равенству; представление ограничения-равенства парой неравенств; переход к неотрицательным переменным; переход от переменных, ограниченных снизу, к неотрицательным переменным.

Наиболее употребительным численным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод.

2 Транспортная задача линейного программирования (частный тип задачи ЛП)широко распространены в практике. К ним сводятся многие другие задачи ЛП - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

Замкнутая транспортная модель:требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок.

Открытая транспортная модель: не требуется, чтобы весь произведенный продукт в каждом пункте производства был реализован.

Транспортная задача принципиально может быть решена универсальным методом решения любой задачи ЛП, но этот метод не учитывает специфики условий транспортной задачи.

Открытая транспортная модель может быть приведена к замкнутой модели добавлением фиктивного пункта отправления (потребления), от которого поступает весь недостающий продукт или в который свозится весь избыточный запас. Стоимость перевозок между реальными пунктами и фиктивным принимается равной нулю.

Венгерский метод:строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи (из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена). Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

Наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления. В этом случае число итераций не превышает величины /2 ( - суммарная невязка подготовительного этапа).

Достоинство: возможность оценивать близость результата каждой из итераций к оптимальному плану перевозок.

Метод потенциалов

- модификация симплекс-метода решения задачи ЛП применительно к транспортной задаче. Позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.