60 Оптимизация как заключительный этап вычислительного эксперимента.

Вычислительный эксперимент (ВЭ)- метод изучения устройств или физических процессов с помощью математического моделирования. Предполагает, что вслед за построением математической модели проводится ее численное исследование, позволяющее «проиграть» поведение исследуемого объекта в различных условиях или в различных модификациях.

Этапы ВЭ

1.   построение математической модели (составление уравнений, описывающих исследуемое явление).

2.   выбор численных методов расчета (построение дискретной модели, аппроксимирующей исходную математическую задачу, построение разностной схемы, разработка вычислительного алгоритма и т. д.).

3.   создание программы, реализующей вычислительный алгоритм.

4.   проведение расчетов и обработка полученной информации. 5.   анализ результатов расчетов, сравнение (если это возможно) с натурным экспериментом.

Обычно на (5) этапе исследователь приходит к заключению о том, что необходимо внести определенные изменения в решения, принятые на этапах 1, 2 или 3.

Достоинства:при условии затруднительности и невозможности проведения натурного эксперимента; ВЭдешевле и доступнее, подготовка и проведение требует меньше времени, его легко переде­лывать, он даёт более подробную информацию; в ходе ВЭ выявляются границы применимости матмодели, которые позволяют прогнозиро­вать эксперимент в ест условиях.

Использование ВЭ ограничивается математическими моделями, которые участвуют в проведении иссле­дования =>ВЭ не может заменить полностью экспери­мент натурный. В проведении сложного эксперимента используется широкий спектр математических моделей: пря­мые задачи, обратные задачи, оптимизированные задачи, задачи идентификации.

ОПТИМИЗАЦИЯ — задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.

Постановка задачи оптимизации

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов (оптимизационная задача). Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта (параметрической оптимизацией). Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задачаоптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ^*, который доставляет минимальное значение f(χ^*) заданной функции f(χ).

Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:

1. Допустимое множество  — множество

2. ;

3. Целевую функцию — отображение ;

4. Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

1. показать, что .

2. показать, что целевая функция не ограничена снизу.

3. найти .

4. если , то найти .

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.