59 Модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, методы решения

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ(ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

или

где  — неизвестная функция, зависящая от независимой переменнойx Число -порядокдиффур.

Наиболее практважные:диффур1-го и 2-го порядка.

ПРИМЕР

1 из простейших применений диффур— решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения:

по2-ому закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид . Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.

Дифференциальное уравнение , вместе с начальным условием , задаёт экспоненту: .

Если обозначает время, то эта функция описывает, например, рост популяции в условиях неограниченности ресурсов, а также и многое другое.

Решениедиффур , правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл:

, где  — произвольная константа.

УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Диффур назур с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде . Тогда, в случае , общим решением уравнения является .

ПРИМЕР:физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными - Охлаждение тела:

Пусть  — температура тела,  — температура окружающей среды ( ). Пусть  — количество теплоты,  — удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты, передаваемое окружающей среде до выравнивания температур, выражается формулой , или, в дифф форме, .

С другой стороны, скорость отдачи тепла можно выразить в виде , где  — некий коэффициент пропорциональности. Исключаяиз этих двух уравнений , получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Общее решение – семейство функций: .

Виды решений ОДУ:

Общее решение ОДУ n-го порядка содержит N произвольных постоянных С_i, т.е. общее решение имеет вид:y=φ(x,C₁,C₂,…C_n)

Частное решение ОДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Методы решения:

Теорема Коши; м Эйлера (получение приближенного решения ОДУ - аппроксимация производной), наиболее простой метод решения ОДУ. Обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности; мЭйлера-Коши, значение правой части итерационного уравнения заменяют средним арифметическим значением между f(x_i,y_i) и f(x_i+1,y_i+1), с получением неявной схемы; м Эйлера с пересчетом; м Эйлера с пересчетом с автоматическим выбором шага; м Рунге-Кутта; м прогноза и коррекции.

М Эйлера и его модиф варианты могут расс-ться как м Рунге-Кутта 1-го и 2-го порядков.

Повышение точности результатов: применяя разностные схемы повышенного порядка точности. Однако, такие схемы целесообразно применять лишь для уравнений с постоянными коэффициентами.

На практике для повышения точности применяют метод Рунге: проводятся повторные расчеты по одной разностной схеме с различными шагами. Уточненное решение в совпадающих при разных расчетах узлах строиться с помощью проведенной серии расчетов.