58 Основные методы и характеристики погрешности

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

МЕТОДЫ:1Одномерный случай(м прямоугольников; м трапеций; м парабол (м Симпсона); Увеличение точности; м Гаусса; м Гаусса — Кронрода; м Чебышёва; Интегрирование при бесконечных пределах; м Монте-Карло; м Рунге — Кутты; м сплайнов) 2Многомерный случай

Численное дифференцирование - совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции.

ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ: погрешность исходных данных; погрешность аппроксимации; погрешность округления.

Погрешность исходных данных

Любая мат модель использует для проведения расчетов эмпирические данные. В силу погрешности измерительных инструментов, ошибок при снятии размеров, нестабильности свойств и размеров тел практически все исходные данныесодержат погрешности, влияющие в большей или меньшей степени на результаты расчетов. Точность определения параметров в промышленных условияхсост-т 1 - 10 % . Точные исследования при наличии достаточной инструментальной базы и специальных условий позволяют достичь 0,001 - 0,0001%  погрешности. Прецизионные измерения обеспечивают погрешность в пределах 10^-8 - 10^-10 %. Погрешности измерения вносят неустранимые искажения в результаты решения задач. Ограниченияна точность выполнения математических вычислений: погрешность вычислений должна быть меньше погрешности измерения примерно в 10 раз. Более высокая точность вычислений является бессмысленной из-за наличия погрешностей представления исходных данных.

Погрешность численного метода

Погрешность метода решения задачи на ВМ определяется неточностью замены алгебраического, дифференциального или интегрального оператора в исходном уравнении поставленной задачи  приближенным (линейным или разностным).

Так, при замене интеграла конечной суммой (точное значение площади под графиком заменяется суммой площадей соответствующих прямоугольников).Чем меньшешаг интегрированияh, тем выше точность вычисления значения интеграла.

 Аналогичная ситуация имеет место при замене производной разностным аналогом: погрешность замены производной разностным аналогом уменьшается с уменьшением величины шага h.

Таким образом: при использовании численных методов погрешность решения является регулируемой: при корректном построении разностной аппроксимации исходного уравнения всегда имеется некоторый параметр, варьированием которого можно регулировать величину погрешности получаемого результата.

Но: повышение точности решения модели приводит к ощутимому повышению затрат ресурсов ЭВМ (времени проведения вычислений и оперативной памяти). =>достижение приемлемых затрат ресурсов при получении удовлетворительной точности.

Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах: абсолютная погрешность делится на приближенное значение переменной, поскольку ее точное значение неизвестно.

Погрешности округления чисел в ЭВМ

Округление: операция замены заданного числа другим числом, первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа, а начиная с S+1 разряда содержат нули.

Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд округленного числа, в зависимости от ситуации, может добавляться единица.

Ошибки округления появляются при хранении мантиссы вещественного числа. В представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7 значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8 байт) или 19 (10 байт).

Для всех чисел, представимых в ЭВМ, относительная погрешность одна и та же.

Абсолютная и относительная погрешности.  Погрешность результатов вычисления арифметических операций

при выполнении арифметических операций сложения и вычитания складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности.