Лабораторна робота № 4 Дослідження наявнoстi мультиколінеарності у масиві змінних

Завдання: Визначити вплив на ціну легкового автомобіля (Y) таких факторів як вік автомашини (Х₁), об’єм двигуна (Х₂) та пробіг (Х₃).

Кількість пояснюючих змінних m>1, постає питання про те, щоб виконувалась передумова застосування методу найменших квадратів - відсутність зв’язку між регресорами. Тому перед побудовою моделі проведемо тест на наявність мультиколінеарності.

№ п/п ( i )	Ціна автомобіля (Y), тис.дол..США	Вік автомобіля (X1), Роки	Об’єм двигуна автомобіля (X2), дм3	Пробіг Автомобіля (X3), тис.км
1	11	6	3	129
2	3,2	10	1,3	150
3	8,7	10	1,8	137
4	1,6	16	1,8	201
5	17	2	2,4	60
6	18,9	4	4	112
7	15,8	3	2	74
8	18	6	3	165
9	19	3	4	62
10	6	6	1,6	100
11	13	6	2,6	44
12	22,7	5	2,1	101
13	13,9	3	2	100
14	10,9	3	1,5	57
15	9,5	8	2,6	167
16	28	3	2,2	53
17	6	8	1,8	120
18	5,8	9	1,6	89
19	2,8	11	1,6	30
20	26	1	2,2	16
21	10,5	6	2	117
22	16,9	7	2,3	149
23	3,4	9	1,5	100
24	14	1	1,4	8
25	23	1	1,8	30
Середнє	13,0240	5,8800	2,1640	94,8400
Дисперсія	55,9244	13,5267	0,5157	2606,2233
σ	7,4783	3,6779	0,7181	51,0512

Необхідно:

1. нормалізувати статистичну інформацію;

2. обчислити кореляційну матрицю та вектор коефіцієнтів парної кореляції;

3. розрахувати визначник кореляційної матриці та перевірити його відмінність від нуля;

4. знайти матрицю, обернену до кореляційної, і на основі її елементів:

   1. розрахувати часткові коефіцієнти парної кореляції та перевірити їх статистичну значущість за t-критерієм;

   2. за F-критерієм перевірити суттєвість зв’язку кожної пояснюючої змінної з рештою регресорів;

5) визначити змінні, між якими відсутній зв’язок і які можна включити до моделі в якості незалежних змінних.

І. Тестування наявності мультиколінеарності

• Нормалізуємо вхідну інформацію: .

Нормалізовані дані записані в таблиці

№ п/п	Y*	X* 1	X*2	X*3
1	-0,2707	0,0326	1,1641	0,6691
2	-1,3137	1,1202	-1,2031	1,0805
3	-0,5782	1,1202	-0,5069	0,8258
4	-1,5276	2,7516	-0,5069	2,0795
5	0,5317	-1,0550	0,3286	-0,6825
6	0,7857	-0,5112	2,5566	0,3361
7	0,3712	-0,7831	-0,2284	-0,4082
8	0,6654	0,0326	1,1641	1,3743
9	0,7991	-0,7831	2,5566	-0,6433
10	-0,9393	0,0326	-0,7854	0,1011
11	-0,0032	0,0326	0,6071	-0,9959
12	1,2939	-0,2393	-0,0891	0,1207
13	0,1171	-0,7831	-0,2284	0,1011
14	-0,2840	-0,7831	-0,9246	-0,7412
15	-0,4712	0,5764	0,6071	1,4135
16	2,0026	-0,7831	0,0501	-0,8196
17	-0,9393	0,5764	-0,5069	0,4928
18	-0,9660	0,8483	-0,7854	-0,1144
19	-1,3672	1,3921	-0,7854	-1,2701
20	1,7352	-1,3269	0,0501	-1,5443
21	-0,3375	0,0326	-0,2284	0,4341
22	0,5183	0,3045	0,1894	1,0609
23	-1,2869	0,8483	-0,9246	0,1011
24	0,1305	-1,3269	-1,0639	-1,7010
25	1,3340	-1,3269	-0,5069	-1,2701

• На основі нормалізованих даних обчислимо кореляційну матрицю r та вектор коефіцієнтів парної кореляції : .

Маємо: .

• Перевіримо наявність мультиколінеарності серед пояснюючих змінних.

Спочатку обчислимо визначник кореляційної матриці det(r) = 0,4344.

(Якщо визначник кореляційної матриці наближається до одиниці, можемо говорити про відсутність мультиколінеарності та незалежність факторів, включених до моделі.)

Для визначника обчисленої кореляційної матриці ² = 18,48. Порівняємо ² із табличним значенням ²_,k з ступенями свободи при рівні значущості  = 0,05. Так як m = 3, то ²_,k = 7,81. Отже, ²>²_,k. Це свідчить про наявность мультиколінеарності пояснюючих змінних.

• Далі обчислимо матрицю, обернену до кореляційної матриці r:

.

За елементами матриці С розрахуємо часткові коефіцієнти парної кореляції: .

Перевіримо статистичну значущість часткових коефіцієнтів парної кореляції на основі t–критерію. .

.

Табличне значення критерію t_/2,k. = 2,069 при рівні значущості  = 0,05 та ступені свободи k = n-m =23: > t_/2,k, > t_/2,k,.

Таким чином, між змінними X₁ і X₂ та X₁ і X₃ існує тісний кореляційний зв’язок, що свідчить про наявність мультиколінеаності.

• Якщо кореляційна матриця r відмінна від одиничної, то й обернена до неї матриця C також відмінна від одиничної. Розглянемо величину

,

де - діагональний елемент матриці C, n – кількість спостережень; m - число пояснюючих змінних. Ця величина має розподіл Фішера з k₁ = m-1 та k₂ = n – m ступенями свободи. Обчислення величини аналогічне перевірці суттєвості зв’язку в моделі, в якій залежною змінною буде змінна , а пояснюючими змінними – решта (m - 1) факторів : . При рівні значущості  = 0,05 F_ = 3,42.

> F_,k1,.k2 > F_,k1.k2, що означає суттєву залежність першої пояснюючої змінної від другої та третьої (віку автомобіля від об’єму двигуна та пробігу); третьої від першої та другої (пробігу від віку автомашини та об’єму двигуна).

< F_,k1,.k2, тобто така змінна як об’єм двигуна не корелює із змінними, які визначають вік автомобіля та його пробіг. Змінну X₂ включаємо до моделі.

• Аналізуючи елементи вектора парних коефіцієнтів кореляції бачимо, що найбільший вплив на Y серед пояснюючих змінних мають змінні X₁ та X₂.

Змінна X₃ найменше впливає на результативний фактор, крім того, корелює X₁ та X₂. Доцільно не включати як пояснюючий фактор X₃ до моделі.

ІІ. Таким чином, можна записати наступну економетричну модель без фактора X₃:

. (1)

Переконаємося в тому, що пояснюючі змінні цієї моделі неколінеарні між собою. Для цього сформуємо кореляційну матрицю: .

Визначимо детермінант кореляційної матриці та розрахуємо критерій ²:

det(r) = 0,9322; ² = 1,5801.

Табличне значення ²_,k = 3,84 при  = 0,05 та ступені свободи =1. Порівнявши дві величини, бачимо: ²<²_,k, що свідчить про несуттєву відмінність визначника кореляційної матриці від одиниці. Можемо стверджувати, що пояснюючі змінні X₁ та X₂ є незалежними.

III. Порівняємо оцінки параметрів моделей, обчислених без та з урахуванням мультиколінеарності.

1. За методом найменших квадратів знайдемо статистичні оцінки параметрів моделі

(2)

без урахування зв’язків між пояснюючими змінними. Одержуємо наступне рівняння зв’язку:

2. Для цієї моделі:

* коефіцієнт множинної детермінації R² = 0,6749;

* критерій Фішера: F = 14,5297, табличне значення F_,k1,.k2 = 3,07 при рівні значущості  = 0,05 та із ступенями свободи (n-m-1) = 21 та m = 3.

F >F_,,k1,.k2, що підтверджує суттєвість зв’язку між залежною та пояснюючими змінними моделі

.

3. Для знайдених статистичних оцінок параметрів маємо такі середньоквадратичні похибки: .

Перевіримо значущість оцінок параметрів за критерієм Стьюдента: ;

.

Табличне значення критерію t_/2,k. = 2,080 при рівні значущості  = 0,05 та ступені свободи n-m-1 = 21. Таким чином,

> t_/2,k, > t_/2,k, < t_/2,k, < t_/2,k.

Оцінки параметрів при змінних X₂ та X₃ несуттєво відрізняються від нуля, тобто, якщо не аналізувати дані на мультиколінеарність, ці змінні як такі, що не мають впливу на залежну змінну, слід виключити з моделі (2).

4. Розглянемо модель (1), з якої виключено змінну X₃, яка корелює із змінною X₁ та X₂ .Знайдемо оцінки параметрів:

Для такої моделі

* коефіцієнт множинної детермінації R²=0,6736;

* критерій Фішера F = 22,7032, табличне значення F_,k1,.k2 = 3,44 при рівні значущості  = 0,05 та із ступенями свободи k₁ = m = 2 та k₂ = (n – m -1) = 22.

F >F_,k1,.k2, що підтверджує суттєвість впливу пояснюючих змінних моделі на залежний фактор.

Для знайдених статистичних оцінок параметрів маємо такі середньоквадратичні похибки: .

Перевіримо значущість оцінок параметрів за критерієм Стьюдента:

табличне значення t_/2.k =2,074 при рівні значущості  = 0,05 та ступені свободи k = n - m- 1= 22: > t_/2.k, > t_/2.k, > t_/2.k,

Статистичні оцінки параметрів для моделі (1) суттєво відрізняються від нуля.

Крім того, порівняння двох моделей показує, що середні похибки, а, отже, і дисперсії оцінок параметрів першої моделі менші за аналогічні для другої моделі. Таким чином, можна зробити висновок, що перша модель надійніша в користуванні за другу.