Элементы линейной алгебры Матрицы

Матрицей А размера mn называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений a_ij , i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , n:

Обозначения: A, или А = ( а_ij ), или А = || а_ij || ,

г де a_ij – элементы матрицы, причем индекс i в элементе a_ij означает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера nxn.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами ij ) равны нулю.

Единичной (Е) называется диагональная матрица со всеми единицами на главной диагонали.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

1. Операции над матрицами

Сумма матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинакового размера есть матрица С= (с_ij) того же размера ( A + B = C ), причем c_ij = а_ij + b_ij  i,j.

Произведением матрицы А = (a_ij) на число  называется матрица С= (с_ij) того же размера, что и матрица А ( A = C ), причем с_ij = a_ij  i,j .

Разность матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинакового размера определяется как сумма матрицы А и умноженной на –1 матрицы В ( С = A - B = A + (-1)B ), т.е. c_ij = а_ij - b_ij  i,j.

Задание для самоконтроля: Найти линейную комбинацию матриц

1) 2А + 3В, где А = , В = . 2) А – λЕ, где А = .

Произведением АВ матриц А и В (размером mxn и nxr соответственно) называется м атрица С размера mxr, такая что

Т.о. каждый элемент с_ij матрицы С равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Другими словами, чтобы найти элемент с_ij нужно умножить элементы i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом, если размеры матриц А и В mxn и nxr соответственно, то размер матрицы С будет mxr: ( [mxn]  [nxr] = [mxr] ).

Задание для самоконтроля:

1) Найти (если возможно) произведение матриц: 1) , 2) .

2) Найти значение матричного многочлена f (A), если: f (х) = -2х² + 5х + 9, А = .

В общем случае АВ  ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими).

Задание для самоконтроля:

1) Проверить, коммутируют ли матрицы: 1) , 2) .

Транспонированной к матрице А = (a_ij) называется матрица А^Т такая, что a_ij^Т = a_ji, т.е. все строки матрицы А^Т равны соответствующим столбцам матрицы А.

Задание для самоконтроля:

1) Транспонировать матрицы: 1) , 2) , 3) .

Ступенчатая матрица (на примерах):

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: