3.3. Однородные и неоднородные системы

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

(1)

Однородная система всегда совместна, т.к. х₁ = х₂ = … = х_n = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Однородная система неопределенна тогда и только тогда, когда r(A) < n.

Теорема1. Для того, чтобы система однородных линейных уравнений имела ненулевые решения,

необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Пусть дана система n линейных однородных уравнений с n неизвестными

(2)

Теорема2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела

ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Доказательство. Если система имеет ненулевые решения, то ее определитель равен нулю, т.к. при неравном нулю определителе система имеет единственное, нулевое решение.

Если определитель системы равен нулю, то ранг r основной матрицы меньше числа неизвестных, т.е. r < n. И, значит, система (теорема 1) имеет бесконечное множество решений (в т.ч. и ненулевых).

Положим r = r(A). Пусть общее решение системы (1) записано в виде

X = ,

где х₁, … , х_r – главные переменные, t₁, … , t_{n – r} – значения свободных переменных х_{r +1}, … , х_n . Если свободным переменным придать какие-либо конкретные значения (они уже не будут переменными!), то получим систему из r уравнений с r неизвестными (х₁, х₂ , … , х_r ), ранг которой равен r. Значит, она имеет единственное решение.

Выберем n – r решений системы (1), полученных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные – равными 0, т.е. по следующей схеме

.

В результате получим n – r частных решений

X₁ = , X₂ = , … , X_{n – r} = . (3)

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы (2). Они обладают следующим свойством: любое решение Х системы (1) может быть единственным образом представлено в виде: Х = α₁Х₁ + … + α_{n – r} Х_{n – r} , где α₁, … α_{n – r} – некоторые числа.

Любой набор из n – r решений системы (1), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (1).

Если в системе (1) не все свободные члены равны нулю, то такая система называется неоднородной.

Структура общего решения неоднородной системы

Пусть дана некоторая неоднородная система линейных уравнений

АХ = В, (4)

а АХ = 0 (система (1)) – соответствующая ей однородная система. Общее решение системы (4) может быть представлено в виде суммы общего решения системы (1) и какого-то одного (частного) решения системы (4): Х_он = Х_оо + Х_чн.

«Хороших» методов нахождения частных решений нет, поэтому решать их надо методом Гаусса

Примеры

1. Решить систему уравнений .

• Система однородная. Имеем: ~ => r(A) = 2 = n => система определена и имеет единственное решение Х = (х₁ = 0, х₂ = 0).

2. Решить систему уравнений .

• Система однородная. Имеем:

~ ~ ~ =>

r(A) = 2 < 4 = n => система неопределенна. Главных переменных 2 = r, свободных n – r = 4 – 2 = 2. Пусть главными переменными будут х₁ и х₂ , свободными – х₃ и х₄ . Перепишем исходную систему в виде

Выразим главные переменные через свободные: из последнего ур-ния: x₂ = –x₃ – x₄ . Из первого ур-ния:

х₁ = –2x₂ –2x₃ –3x₄ = –2(–x₃ – x₄) –2x₃ –3x₄ = 2x₃ + x₄ –2x₃ –3x₄ = – x₄ . Общее решение имеет вид:

Х_оо = (здесь х₁ = – x₄ , x₂ = –x₃ – x₄)

Придадим свободным переменным значения Тогда х₂ = –1, х₁ = 0. Т.о., первое частное решение ФСР имеет вид Х₁ = . Затем, если положить то найдем х₂ = – , х₁ = – , и Х₂ = или

Х₂ = . Фундаментальная система решений состоит из двух векторов: Х₁ = , Х₂ = .

Общее решение системы, следовательно, имеет вид: Х = α₁ Х₁ + α₂ Х₂ = .