3.2.2. Решение невырожденных систем Метод обратной матрицы. Формулы Крамера

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме АХ = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы Δ = называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля (Δ ≠ 0), то система называется невырожденной.

В случае невырожденной системы она совместна и определена.

Решение невырожденных линейных систем с помощью обратной матрицы

Умножим обе части уравнения АХ = В слева на матрицу А^–1, получим

А^–1АХ = А^–1В или ЕХ = А^–1В. Т.о., Х = А^–1В.

Решение невырожденных линейных систем с помощью формул Крамера

Матричное равенство Х = А^–1В запишем в виде: = · или

= => .

Но А₁₁b₁ + А₂₁b₂ + … + А_n1b_n есть разложение определителя ∆₁ =

по элементам первого столбца.

Определитель ∆₁ получается из определителя ∆ путем замены первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Т.о. х₁ = .

Аналогично получаем x_k = , k = 1, 2 , … , n.

Полученные формулы называются формулами Крамера.

Пример 1. Решить систему

• 1) Метод обратной матрицы: AX = B, А = , B = . А^–1 = Ã .

|A| = = 6 +1 = 7; A₁₁ = (–1)¹⁺¹ · 3 = 3, A₁₂ = (–1)¹⁺² · 1 = –1, A₂₁ = (–1)²⁺¹ · (–1) = 1, A₂₂ = (–1)²⁺² · 2 = 2.

Матрица из алгебраических дополнений: (A_ij ) = => присоединенная матрица = (A_ij )^Т = =>

Обратная матрица: А^–1 = Ã = = .

Следовательно, Х = А^–1 В = = => х₁ = 1, х₂ = 2.

2) Метод Крамера: А = , B = .

∆ = = 6 +1 = 7; ∆₁ = = 0 +7 = 7; ∆₂ = = 14 – 0 = 14. Значит,

х₁ = = = 1, х₂ = = = 2.

Пример 2. Решить систему

• 1) Метод обратной матрицы: AX = B, А = , B = . А^–1 = Ã .

|A| = = 0 +84 + 96 – 105 – 0 – 48 = 27;

A₁₁ = (–1)¹⁺¹ = –48, A₁₂ = (–1)¹⁺² = 42, A₁₃ = (–1)¹⁺³ = –3,

A₂₁ = (–1)²⁺¹ = 24, A₂₂ = (–1)²⁺² = –21, A₂₃ = (–1)²⁺³ = 6,

A₃₁ = (–1)³⁺¹ = –3, A₃₂ = (–1)³⁺² = 6, A₃₃ = (–1)³⁺³ = –3,

Матрица из алгебраических дополнений: (A_ij ) = =>

присоединенная матрица = (A_ij )^Т = =>

Обратная матрица: А^–1 = Ã = = .

Следовательно, Х = А^–1 В = = = => х₁ = –2, х₂ = 1, х₃ = 2.

2) Метод Крамера: А = , B = .

∆ = = 27 ≠ 0; ∆₁ = = –54; ∆₂ = = 27; ∆₃ = = 54. Значит,

х₁ = = = –2, х₂ = = = 1, х₃ = = = 2.

Задания для самоконтроля

1. Могут ли различные методы решения системы линейных уравнений (метод Крамера и метод обратной матрицы) дать различные ответы? (Нет).

2. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с помощью метода Гаусса, но не имела решения по формулам Крамера? (Да).