3.2. Решение систем

3.2.1. Метод Гаусса

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна, и, если система совместна – выяснить, определена она или нет. При этом (в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли) возможны три варианта:

1. Если r(A) < r(A|B), то система несовместна.

2. Если r(A) = r(A|B) = n, где n – число неизвестных, то система совместна и определена.

3. Если r(A) = r(A|B) < n, то система совместна и неопределенна.

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать,

например, метод Гаусса:

Пусть дана система уравнений

(1)

Процесс решения системы методом Гаусса состоит из двух этапов:

На 1-ом этапе (прямой ход) с помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы (1) приводится к ступенчатому виду:

~ … ~ . (2)

Полученной матрице соответствует система уравнений:

(3)

1. Если система (3) содержит уравнения вида 0 = d_i и d_i ≠ 0, то она очевидно несовместна.

2. Пусть система (3) не содержит уравнений вида 0 = d_i (d_i ≠ 0). Назовем неизвестные

x₁, x_t, x_l, … , x_s, с которых начинаются первое, второе, … , k-е уравнения, основными, а все остальные, если они есть, свободными. Основных неизвестных, как видно, k , свободных – n – k. При этом, k = r(A) (ранг

матрицы равен числу ненулевых строк в приведенной (ступенчатой) матрице).

На 2-ом этапе (обратный ход) придавая свободным неизвестным произвольные значения и подставляя эти значения в уравнения системы, начиная с нижнего (k-го) найдем значение x_s. Подставляя это значение в первые k – 1 уравнений и, поднимаясь вверх по системе, найдем все основные неизвестные. Т.к. свободные неизвестные могут принимать произвольные значения, система имеет бесконечное множество решений.

3. Пусть в системе (3) r(A) = n. Тогда свободных неизвестных нет, т.е. все неизвестные основные и

система (3) имеет так называемый треугольный вид:

Из последнего уравнения системы найдем x_n, и, поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные

неизвестные. Т.о., в этом случае система имеет единственное решение.

Пример 1. Решить методом Гаусса систему

• В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

~ ~ ~

исходная система свелась к ступенчатой

Главных переменных 2 (= r), свободных тоже 2 (= n – r). В качестве главных выбираем х₁ и х₂. Перенесем свободные переменные в правые части уравнений полученной системы: Отсюда

х₂ = –13х₃ + 5х₄ – 3; х₁ = –8х₃ + 5х₄ – 1.

Если обозначить х₃ через α, а х₃ – через β, то общее решение системы будет иметь вид: х₁ = –8α + 5β – 1,

х₂ = –13α + 5β – 3.

Если положить, например, α = 0, β = 0, то найдем одно из частных решений этой системы:

х₁ = –1, х₂ = –3, х₃ = 0, х₄ = 0.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему

• В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

~ ~ ~ ~

исходная система свелась к треугольной r(A) = r(A|B) = n = 3 => система имеет единственное решение. Осуществляя обратный ход, находим х₃ = 1, х₂ = 1, х₁ = 1.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему

• ~ ~ . r(A) = 2 ≠ 3 = r(A|B) => система несовместна. В самом деле, последней строке полученной ступенчатой матрицы соответствует уравнение

0 · х₁ + 0 · х₂ + 0 · х₃ = –13, не имеющее решений.

Пример 4. Исследовать систему в зависимости от параметра λ:

• Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: ~ .

а) При λ ≠ 16 ранг матрицу системы r(A) = 1, ранг расширенной матрицы r(A|B) = 2: r(A) = 1 ≠ 2 = r(A|B) =>

=> система несовместна.

б) При λ = 16 ранг расширенной матрицы r(A|B) = r = r = 1. Значит,

r(A) = r(A|B) =1 < 2 = n => система совместна и неопределенна.

Полученной расширенной матрице системы соответствует уравнение 2 х₁ – х₂ = 8. В качестве главной

переменной можно взять, например, х₂: х₂ = 2 х₁ – 8. Обозначая свободную переменную х₁ через α, получим

общее решение системы: х₁ = α, х₂ = 2 α – 8 или, в другой записи, (α; 2 α – 8). Частное решение системы

получим, например, при α = 0: (0; 8).

Задания для самоконтроля

1. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с n неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы? (Не изменится или сузится).

2. Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое-то одно уравнение. Будет ли полученная система совместной? (Может остаться несовместной, а может стать совместной).

3. Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, но с разным числом уравнений? (Да).

4. Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений, если ранг r(A) матрицы этой системы и ранг r(A|B) ее расширенной матрицы равны нулю? (Множество решений – все возможные значения переменных).

5. Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? из двух решений? из 17-ти решений? (Да, нет, нет).