5. Матричные уравнения

1. AX = B : умножаем обе части уравнения слева на А^–1 : А^–1AX = А^–1 В  X = А^–1 В .

2. XA = B : умножаем обе части уравнения справа на А^–1 : X A А^–1 = В А^–1  X = В А^–1 .

3. AXС = B : умножаем обе части уравнения слева на А^–1 и справа на C ^–1:

А^–1A X С C ^–1 = А^–1 В  X = А^–1 В С ^–1 .

Т.о., решение матричных уравнений сводится к нахождению обратных(ой) матриц(ы) к известным(ой) матрицам(е) в левой части уравнения и умножении их (ее) слева и/или справа на известную матрицу в правой части уравнения.

Пример. Решить матричные уравнения: а) Х = ; б) Х = .

• а) Х = . |A| = = –1 ≠ 0; A^–1 = = (–1) = =>

• X = А^–1 В = · = .

б) Х = . |A| = = 2 ≠ 0; |С | = = 1 ≠ 0;

A^–1 = = = ; С ^–1 = = 1 = =>

• X = А^–1 В C^–1 = · · = · = .

Задания для самоконтроля

Равносильны ли уравнения:

а) АХ = В и Х = А^–1 В ? (Да, если |A| ≠ 0).

б) АХ = В и Х = В А^–1 ? (Нет).

в) АХ = В и Х = А В^–1 ? (Нет).

г) АХ = В и Х = В^–1 А ? (Нет).

2. Системы линейных уравнений

1. Основные обозначения

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных

x₁, x₂, … , x_n , называется система вида

где числа a_ij, i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, … , n называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х_j .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме АХ = В .

Здесь А = – матрица коэффициентов системы,

Х = – вектор-столбец неизвестных, В = – вектор-столбец свободных членов.

Произведение матриц АХ определено, т.к. в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х.

Расширенной матрицей системы А|В = называется матрица, дополненная столбцом свободных членов.

Решением системы называется n значений неизвестных х₁ = с₁, х₂ = с₂, … , х_n = с_n, при подстановке которых все уравнения системы превращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Теорема3 (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и

только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы r(A) = r(A|B).

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных

r(A) = r(A|B) = n, то система имеет единственное решение.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных

r(A) = r(A|B) < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии,

что преобразования выполняются лишь над строками ее расширенной матрицы.